由一道求非特殊角的三角函数值问题引发的思考

陆英俊

求非特殊角的三角函数值问题比较常见，这类问题侧重于考查同学们对三角函数的定义、公式、性质以及特殊角的三角函数值的应用.解答此类问题需灵活运用三角函数公式，通过三角恒等变换，将问题转化为求特殊角或已知角的三角函数值.下面由一道题谈一谈求非特殊的三角函数值问题的技巧.

例题：求 sin 2 10°+cos 2 40°+sin10°cos40° 的值.本题中 10°、40° 均为非特殊角，我们无法直接求得三角函数式的值，需将非特殊角化为特殊角，将非特殊角的三角函数式消去或转化为特殊角的三角函数式，才能顺利求得三角函数式的值.解题的方法一般有以下几种.

一、拆角、补角

对于一些特殊角，如 30°、45°、60°、90° ，其三角函数值是大家熟知的.因此，我们可利用拆角、补角的技巧，将非特殊角拆分、拼凑为特殊角，以根据特殊角的三角函数值求得非特殊角的三角函数值.在解题时，往往需结合三角函数中的诱导公式、二倍角公式、两角的和差公式、辅助角公式等进行拆角、补角，以快速求得三角函数式的值.

我们先根据余弦的二倍角公式，将非特殊角 10°、40° 转化为 20°、80° ；然后将 80° 拆分为 30°、50° ，将40° 拆分为 30°、10° ，将 30° 拆分为 20°、10° ；再利用正余弦的两角和差公式、诱导公式、和差化积公式进行三角变换，从而消去 10°、40° 的三角函数值，求得问题的答案.

二、换元

换元法常用于求解较为复杂的代数运算问题.在求非特殊角的三角函数值时，可将非特殊角的三角函数值用一个新元替换，根据各元之间的关系来进行消元，从而减少运算量，使问题简化.

首先引入新元a 、b，并将三角函数式用新元表示出来；再通过恒等变换，利用同角的三角函数关系式，就能快速地求得三角函数式的值.

总之，求非特殊角的三角函数值，需重点研究角之间的关系，对其进行合理的拆分、拼凑，或将函数式用新元替换，灵活运用三角函数公式进行恒等變换，以将问题转化为简单、易于求值的问题.

（作者单位：江苏省盐城市亭湖高级中学）