判断函数单调性的三种途径

李星星

单调性是函数的重要性质之一，也是解答函数问题的重要依据.判断函数的单调性问题在考试中常以选择、填空题的形式出现，这类问题主要考查同学们对函数单调性的定义，函数图象与性质等知识的掌握程度.下面结合例题探讨如何运用定义法、导数法、图象法这三种途径判断函数的单调性.

一、利用定义法判断函数的单调性.

定义法是判断函数单调性的基本方法.首先可以在函数的定义域内任意取 x 1 、x 2 ，并设 x 1 0 ，则函数 f（x）在该区间内为增函数；若 f（x 2 ）-f（x 1 ）<0 ，则函数 f（x）在该区间内为减函数.

利用定义法判断函数的单调性，需熟练掌握并灵活运用增函数、减函数的定义.将 f（x 2 ） 与 f（x 1 ） 两者相减后，通常要将所得的结果化成几个因式相乘的形式，以便于判断差式的正负性.本题中含有未知参数k ，所以需要进行分类讨论，分别判断函数在区间（0， k） 上和区间 （ k，+∞） 上的单调性.

二、利用导数法判断函数的单调性

利用导数法判断函数的单调性，需先对函数式求导；然后分别令导函数大于或小于零，并求出对应的 x的取值范围；再根据导函数与函数单调性之间的关系进行判断.当 x∈D 1 时，若 f′（x）>0 ，则函数 f（x） 在 D 1上单调递增；当 x∈D 2 时，若 f′（x）<0 ，则函数 f（x） 在D 2 上单调递减.

在解答这道题时，首先要根据函数的解析式求出函 数 的 定 义 域 ；再 对 函 数 求 导 ；然 后 令 导 函 数f′（x）=0 ，用所求得的两个零点对函数的定义域进行划分，并在每个区间上讨论导函数的正负性，以根据导函数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性.本题中，函数 f（x） 含有未知参数 m ，我们无法判断两个零点 x=1 与 x=m-1 之间的大小，所以要分m-1≤0 、01 、m-1=1 几种情况，来讨论不同区间内函数的单调性.

三、利用图象判断函数的单调性.

借助函数的图象，可以快速明确函数的变化情况，了解函数的特征，如函数的定义域、值域、单调性等.在判断函数的单调性时，可以先根据函数的性质或函数的解析式画出函數的图象；然后从左往右观察函数图象的变化趋势，当函数在某一区间段内的图象呈上升趋势，则该函数在此区间内为增函数；当函数在某一区间段内的图象呈下降趋势，则该函数在此区间内为减函数.

画出函数的大致图象，如图2所示.

对于含有绝对值和根式的函数式，同学们需要先确保函数式有意义，据此求出函数的定义域，并将函数式写成分段式；然后画出函数的图象，通过观察图象，明确各个区间段上曲线的升降情况，就能一目了然地判断出函数在各个区间上的单调性.

相较而言，定义法的适用范围较广，导数法则常用于判断复杂函数的单调性.图象法则十分形象直观，解答过程也较为简便.

（作者单位：江苏省仪征市南京师范大学第二附属高级中学）