追求深度理解的单元复习课

黄锋

[摘  要] 追求深度理解的单元复习课在自主回顾中实现知识再建构，在温故操练中实现问题再发现，在合作探究中实现关联再剖析，在实践应用中实现思想再感悟，在总结升华中实现本质再理解，在拓展延伸中实现素养再提升.

[关键词] 单元复习课;解三角形;深度理解

基于深度理解的单元复习课对一章内容的梳理、整合、拓展、升华具有重要意义，其功能与价值不是常态的复习讲评课、专题复习课、查漏补缺课所能替代的. 追求深度理解的单元复习课，首先要梳理章节主线，串联零碎的、分散的知识，实现单元内容再建构，正如著名数学家华罗庚先生所说的，“熟书生温，似乎在复习，但把新的东西讲进去了，找另一条线索把旧东西重新贯穿起来”;同时要站在深度理解的高度，组织学生合作探究，挖掘知识间的内在逻辑关系;另外，还要在应用拓展中感悟思想方法，把握数学本质，发展数学素养.

在“解三角形”的新授课中，学生以平面向量为工具研究了三角形中邊角的定量关系——余弦定理、正弦定理，并学会了用余弦、正弦定理解决实际问题. 对本章内容的复习，笔者认为，除了要达成上述基本目标外，还要从方法论的角度明确解三角形的本质，从整体视角研究余弦、正弦定理的内在一致性，从而培养学生的深度思维，发挥本章内容的育人价值. 基于上述问题的思考，本文结合解三角形（单元复习课）的教学谈谈对单元复习课的一些理解与认识.

教学设计

1. 自主回顾，知识再建构

问题1 请同学们回顾“解三角形”这一章的内容，能否用结构图的形式将它们表示出来呢？

教师引导学生初步建构知识结构图（如图1所示）.

设计意图 在新授课阶段中，学生虽然已经逐一学习了各节内容，但是仍处于“只见树木，不见森林”的状况，还没有形成一般性思维策略，更谈不上对学习内容的深度理解. 单元复习课最基本的任务就是实现知识的结构化，构建体现逻辑关系的知识网络. 在课堂之初，学生通过自主回顾，画出按知识点罗列的知识结构图，教师则引导学生从联系的观点去理解问题，将各小节的知识内容之间的关系先初步勾画出来，再在后续课堂探究中逐步完善知识结构图.

2. 温故操练，问题再发现

问题2 阅读教材中已学过的三道例（习）题，你能总结余弦、正弦定理适用的类型，并进一步完善结构图吗？

（1）A，B两点之间隔着一个水塘（见图2），现选择另一点C，测得CA=182 m，CB=126 m，∠ACB=63°，求A，B两点之间的距离（精确到1 m）.

（2）为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A，B（见图3）. 要测算出A，B两点之间的距离，测算人员在岸边定出基线BC，测得BC=78.35 m，∠B=69°43′，∠C=41°12′，试计算AB的长（精确到1 m）.

（3）如图4所示，为了测量河对岸A，B两地之间的距离，在河岸这边取C，D两点，测得∠ADC=85°，∠BDC=60°，∠ACD=47°，∠BCD=72°，CD=100 m，设A，B，C，D在同一平面内，试求A，B两点之间的距离（精确到1 m）.

设计意图 通过对三道习题的分析，学生分别概括出余弦、正弦定理的适用情形，即已知三条边，或已知两边及夹角，选用余弦定理;已知两角及一边，或已知两边及一边的对角，选用正弦定理. 初步完善并得到知识结构图（如图5所示）.

追问：你能指出上述三种测量与计算问题之间的关系吗？你能说出解三角形的本质吗？

设计意图 上述三问源于教材三个小节中的三道例题，第（1）问是两点不可达又不可视的问题;第（2）问是两点可视但不可达的问题;第（3）问是两点都不可达的问题. 新授课时，学生是独立逐个解决的;现将三道例题放在一起研究，目的是引导学生用联系的观点整体思考问题. 研究发现，解决第（3）问先要将其化归为模型2（第（2）问的求解模型），在△ADC和△BCD中用正弦定理分别求出AD和BD（或AC和BC），然后再化归为模型1（第（1）问的求解模型）在△ADB（或△ACB）中用余弦定理求出A，B两点之间的距离. 综合运用正弦、余弦定理解决问题，让学生感悟转化与化归思想方法，培养学生的模型识别能力.

在解决第（3）问的过程中，将AD和BD看作未知量，求解过程体现了方程思想. 由此，引导学生深度反思解三角形的本质，即在三角定律（三角形的余弦定理、正弦定理、内角和定理以及两边之和大于第三边）的基础上，建立题设条件（方程或不等式）与三角形本质的联系，从而求得三角形的全部或部分度量关系.

3. 合作探究，关联再剖析

问题3 结合余弦、正弦定理的推导过程，思考余弦、正弦定理是否具有一致性？

设计意图 通过问题引导学生初步感知余弦定理和正弦定理的关联性. 首先，两个定理的证明起点与证明路径一致，都是从同一个向量等式出发，将向量等式数量化来证明的. 其次，在已知两边及一边的对角求第三边时，可以利用内角和定理和正弦定理求解;也可以利用余弦定理，通过建立关于第三边的一元二次方程求解.不同的定理解决相同的问题，说明两个定理必然具有一致性. 通过该问题的设计，培养学生发现问题、提出问题的能力.

追问1：你能探究出证明余弦、正弦定理具有一致性的路径吗？

师生合作，借助向量等式及射影定理进行探究，探究路径如图6所示.

设计意图 利用向量等式证明余弦定理和正弦定理的关键是向量等式的数量化，而向量等式的数量化又能得出射影定理. 因此，教师适时点拨，能引导学生得到一条探究路径——从余弦定理出发借助射影定理证明正弦定理.

追问2：你能通过具体实践，完整写出探究过程吗？探究过程可逆吗？

探究1：请结合射影定理由余弦定理推导正弦定理.

探究2：请结合射影定理由正弦定理推导余弦定理.

证明（探究1） 由a=bcosC+ccosB两边平方，可得a2=b2cos2C+c2cos2B+2bccosC·cosB.

因为cos2C=1-sin2C，cos2B=1-sin2B，所以a2=b2+c2-（b2sin2C+c2sin2B-2bccosC·cosB）.

又a2=b2+c2-2bccosA，所以2bc·cosA=b2sin2C+c2sin2B-2bccosC·cosB.

因为cosA=-cos（C+B）=-cosC·cosB+sinC·sinB，所以2bcsinC·sinB=b2sin2C+c2sin2B，所以（bsinC-csinB）2=0，即=.

同理可证==.

设计意图 很多数学知识的发现都源于大胆猜想，然后严格证明.另外，逆向推理也是拓展探究的一种方式.研究路径、研究方法的培养应渗透在平时的学习过程中.

追问3：能否不借助射影定理直接实现余弦定理、正弦定理的互证呢？若能，请小组合作写出探究过程.

探究3：请由余弦定理直接推导正弦定理.

证明 在△ABC中，0

探究4：请由正弦定理直接推导余弦定理.

证明 在△ABC中，A+B+C=π，所以sin2A=sin2（B+C）=（sinBcosC+cosBsinC）2=sin2Bcos2C+cos2Bsin2C+2sinBcosCcosBsinC=sin2B（1-sin2C）+（1-sin2B）sin2C+2sinBcosCcosBsinC=sin2B+sin2C+2sinBsinC（cosBcosC-sinBsinC）=sin2B+sin2C+2sinBsinC·cos（B+C）=sin2B+sin2C-2sinBsinC·cosA.

由正弦定理得sinA=，sinB=，sinC=. 所以a2=b2+c2-2bccosA.

设计意图 直接进行余弦定理和正弦定理的互证是本节课的难点，也是深度理解解三角形（单元复习课）的核心. 在余弦定理证明正弦定理的过程中，sinA适当变形，本质上是三角形的面积公式的等价转化，即bcsinA=，其中p=. 在实现深度理解的过程中，又进一步拓展了知识面，使学生对关联结构的理解更加透彻.

4. 实践应用，思想再感悟

问题4 能否多角度解决下列问题？

化简：sin218°+sin242°+sin18°·sin42°.

方法1 原式=++sin18°·sin42°=1-[cos（60°-24°）+cos（60°+24°）]+sin（30°-12°）·sin（30°+12°） =1-cos24°+cos212°-sin212°=1-cos24°+（1+cos24°）-（1-cos24°）=.

方法2 在△ABC中，令A=120°，B=18°，C=42°，△ABC的外接圆直径2R=1，则b=sin18°，c=sin42°，a=sin120°. 又a2=b2+c2-2bccosA=sin218°+sin242°-2·sin18°·sin42°·cos120°=sin218°+sin242°+sin18°·sin42°，所以sin218°+sin242°+sin18°·sin42°=sin2120°=.

設计意图 法国著名数学家、物理学家拉格朗日说过，如果代数与几何各自分开发展，那么它的进步将十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则会相互加强，并以快速的步伐向着完美化的方向猛进. 方法1利用三角恒等变换公式（本题也可应用和差化积、积化和差公式化简求解），从代数角度解决问题;方法2通过构造三角形，从几何角度解决问题. 体现了数形结合思想的重要性，同时体现了数学美.

5. 总结升华，本质再理解

问题5 经历本节课完整的探究过程，你能最终完善单元知识结构图吗？

经过师生合作探究，本节课最终完成了单元知识结构图的建构（如图7所示）.

设计意图 整节课基于余弦定理与正弦定理本质的一致性，层层深入探究，学生通过单元知识结构图的建构，逐渐明确定理间的结构关系，思维水平螺旋上升，数学素养也得到提升.

6. 拓展延伸，素养再提升

问题6 你能完成下列拓展练习题吗？

（1）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知2b=a+c，sin2A=sinBsinC，试判断△ABC的形状.

（2）求证：sin2α+sin2

（3）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知p=（a+b+c）， 求证：△ABC的面积为S=.

（4）设圆O内接四边形的边长分别为a，b，c，d. 已知p=（a+b+c+d），求证：内接四边形的面积为S=.

设计意图 结合课后拓展练习题，既能巩固经典方法，又能拓展课堂探究过程中的生成性问题，更能探究和解决实践应用性问题，有效将课堂上的探究延伸到课堂外.

教学反思

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》强调：“教师要整体把握教学内容，把握数学知识的本质，理解数学知识产生与发展过程中所蕴含的数学思想，在此基础上，探索通过什么样的途径能够引发学生思考，让学生在掌握知识、技能的同时，感悟知识的本质，实现教育价值.”[1]基于这样的要求，教师要思考：随着新知识的获取、新知识的理解，要求学生进一步厘清知识间有怎样的内在逻辑关系？要求学生体会在学习过程中蕴含着哪些思想方法？为此，单元复习需要重新建构单元整体结构，将基础知识、研究方法以及蕴含的数学思想融为一体，让学生深刻理解内在的逻辑关系，帮助学生形成可辨别的、可拓展的、有利于进一步学习的认知结构[2].

1. 单元复习课需要树立大观念

单元复习不是简单的知识罗列与总结，不是单元题型的归纳与分类，而是要梳理知识的来龙去脉，进一步明确数学对象的研究内容、研究路径和研究方法. 正如章建跃博士所讲：“基于全面实现数学育人目标的实现，必须强调数学的整体性，逻辑的连贯性，思想的一致性，方法的普适性，思维的系统性.”本节课正是在“怎样定量研究三角形”这个大观念的指引下，开展对单元内容的建构，阐述知识的来龙去脉，让学生充分理解正弦定理和余弦定理发现、证明、应用的全过程，充分认识向量的工具性作用，充分感悟转化与化归思想方法.

2. 单元复习课需要确定大主题

单元复习课通常有一个贯穿整章的大情境，这里的大情境是为大主题服务的. 单元复习课的大主题可以知识为主线，也可以思想方法为主线. 如本节课的大主题就是以知识为主线，即将分散在三个小节中的三个具体的测量与计算问题整合成大主题，围绕大主题对本章内容进行再审视、再探究、再生成、再归纳、再建构.

3. 单元复习课需要组织大探究

单元复习课往往采用大探究的教学方式，通过师生合作帮助学生形成更深层次的认识，引导学生挖掘本章知识间的内在关联. 郑毓信教授认为，数学教学中对基础知识“不应求全，而应求联”，所以组织学生进行大探究是理解关联结构的一个重要手段. 例如本节课在深入探讨余弦定理和正弦定理本质的一致性问题时，组织学生进行了第一次大探究;在借助“形”将三角化简求值问题转化为解三角形问题时，又进行了第二次大探究.

4. 单元复习课需要实现大融通

单元复习课在帮助学生整理知识、训练技能上是容易达成的，但在思想方法的渗透上往往是贴标签式的. 因此，单元复习课要将本章内容所蕴含的数学思想、数学方法、数学文化加以融通：做到知识内在本质融会贯通，做到知识深度理解有根有据，做到数学思想方法根植课堂，做到数学深厚文化巧妙融合. 由此，真正实现全章教学的融通，让学生感悟到数学美.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中數学课程标准（2017年版2020修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2] 曾荣. 数学章节复习课教学研究——以《指数与对数》为例[J]. 教学研究与评论，2022（06）：58-65.