“强基计划”数学专题讲座(五)——“强基”数学试题中基于类比、联想的创新之美赏析

■江苏省无锡市第一中学 钱铭

■江南大学理学院 谢广喜

创新是一个民族进步的灵魂,是一个国家兴旺发达的不竭动力。那么在数学学科的有关考试中,如何考查同学们的创新能力呢?我们认为,类比和联想能力是表现数学创新思维最重要的方面,它可以让创新思维不再是虚无缥缈,数学创新的思维火花不再是天外来客。正如日本物理学家汤川秀树所说,“类比是创造性思维的起点”。同时,我们还发现,有时候一些新情况、新问题的解决还需要通过联想来实现,而利用联想解决问题的最基本形式通常是基于结构相似的类比。这里必须指出,在这个过程中,必要的数学知识(甚至还涉及其他学科知识)是实现这个工作的中心环节,没有必要的知识基础,想通过类比联想的办法来创造性地解决有关数学问题基本上是不可能的(尤其是一些难度很大的问题,一个典型的例子是用中小学的数学知识去研究世界难题“哥德巴赫猜想”,结果失败是必然的)。

而基于结构相似的类比与联想是一种在数学解题中创造性地处理有关问题的极其常用的方法,比如下面几种常见形式。

另外,如果(x2-x1)·(y2-y1)≠0,还可将类比理解为一个直角三角形的斜边长(分别以|x2-x1|及|y2-y1|为直角边)。

(4)如果问题以绝对值和的函数形式呈现,比如f(x)=|x-a|+|x-b|,x∈R,其中a,b为实参数,与数轴上的点类比联系,可知f(x)=|x-a|+|x-b|≥|a-b|,当实变量x介于a,b之间时不等式取等号。

(5)如果问题以a2+b2-λa,b(a,b,λ∈R,ab≠0,|λ|＜2)形式呈现,那么我们可以类比联想到余弦定理,将其理解为一个三角形的第三边长平方(分别以|a|,|b|为两边,夹角的余弦值cosC=,其中cosC前的正负号与a,b符号有关,同号取正,异号取负)。

(6)如果问题以|PA|+|PB|=2a＞0形式呈现(其中A,B为平面上两个定点,P为动点,且0＜|AB|=2c≤2a),当c=a时,则动点P的轨迹为线段AB;当c＜a时,则动点P的轨迹为以A,B为焦点的椭圆。完全类似地,如果问题以||PA|-|PB||=2a＞0形式呈现(其中A,B为平面上两个定点,P为动点,且|AB|=2c≥2a),当c=a时,则动点P的轨迹是两条射线;当c＞a时,则动点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线。特别地,若仅有|PA|-|PB|=2a＞0(且c＞a),则点P的轨迹是到A点较远的那一支双曲线(单支双曲线)。

(7)如果问题以|PA|=λ|PB|＞0形式呈现(其中A,B为平面上两个定点,P为动点,λ为大于0的参数),则当λ=1时,P点轨迹为线段AB的垂直平分线;当λ≠1时,P点轨迹为阿波罗尼斯圆。

评注:从这道题我们再次看到,没有相关的数学知识(比如三倍角的余弦公式)作为基础,联想就失去了翅膀,创新的思路或解法也就很难“灵光一闪”地出现。

解析:联想到我们常见的二进制、十进制等的表达形式,我们这里称其为分数进制(具体这里即为二分之三进制),对于这个新情况、新问题,如果我们注意到2 和3 互质,是可以将其转化为整数背景问题去研究的。

等式两边同乘以2n,得:

很显然,等式右边是3 的倍数,而a0∈{0,1,2},只有a0=1才能满足要求。

同样地,此时等式左边必须是3的倍数,由于a1∈{0,1,2},故只能a1=0。

评注:其实,这类分数进制的问题并非首次出现,2005年全国高中数学联赛第6题就可看成是七分之一进制问题,只不过我们现在这里碰到的情形更具有一般性而已。

评注:问题原始结构还是比较复杂的,但我们联想到三角函数公式后,问题就变得柳暗花明了,但最后求值域时一定要仔细,否则很容易误选D。

该直线上任意一点M(a,b)到原点距离的平方为|OM|2=a2+b2。

坐标原点到该直线的距离函数为:

评注:当OM与直线l垂直时刚好取等号。

例8若△ABC是锐角三角形,则tanA+8tanB+13tanC的最小值为_________。

解析:问题呈现在三角形背景下的正切结构,这很容易让我们联想到正切恒等式。

由题意,可令x=tanA＞0,y=tanB＞0,z=tanC＞0。

记p=tanA+8tanB+13tanC,即p=x+8y+13z。(*)

由正切恒等式tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC,得x+y+z=xyz。

[经典永流传创新有源泉]

1.(2013 年华东师范大学自主招生试题)已知x,y∈R,试求:

评注:这道题完全是一道旧题,完全类似的试题之前已多次考过。

将有关角的具体值代入可得: