解导数零点不可求问题的三种策略

■河南省郑州市回民高级中学 赵杰

导数零点不可求是近几年的高考热点问题,常作为压轴题来考查,其核心是由导函数的正、负确定函数的单调性。用导数研究函数f(x)的单调性时,往往需要解方程f′(x)=0,若方程不易求解时,往往给解题带来困难,同学们可以试试采用猜、证、设的方法解决,进而提升大家的逻辑推理和直观想象素养。

策略一:猜——猜出方程f′(x)=0的根

对于题中含有字母的函数求导后,得到的是超越函数,此时求导数的零点时可结合导函数的特点猜出导函数的零点,进而求解。

例1已知函数f(x)=aex-lnx-1。

当0＜x＜2时,f′(x)＜0;

当x＞2时,f′(x)＞0。

所以f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞)。

易知当0＜x＜1时,g′(x)＜0;

当x＞1时,g′(x)＞0。

所以x=1是g(x)的最小值点。

故当x＞0时,g(x)≥g(1)=0。

点评:当所求的导函数的解析式中出现lnx时,常猜想f′(x)=0 的根为1;当解析式中出现ex时,常猜想f′(x)=0的根为0;当解析式中出现xex-aea时,常猜想f′(x)=0的根为a。

策略二:证——证明f′(x)=0 有根(无根)

函数求导后,导函数的零点不能求时,可根据导函数的特点证明出导函数有(几个)或无零点。

点评:若导函数f′(x)在某区间上单调,可根据单调性及零点存在定理证出零点的个数;若导函数f′(x)在某区间上不单调,则通过导函数的极值及图像特征确定零点个数。

策略三:设——设出f′(x)=0的根

对于函数求导后,导函数的零点无法求解时,可设出零点,再根据函数的性质求解。

例3(2017年新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=x2-x-xlnx,证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且f(x0)＜2-2。

所以t(x)=0有解,即f′(x)=0存在两个根x0,x1。

且f′(x)在(0,x0)上为正,在(x0,x1)上为负,在(x1,+∞)上为正。

所以f(x)必存在唯一极大值点x0,且2x0-2-lnx0=0。

综上所述,f(x)存在唯一的极大值点x0,且f(x0)＜2-2。

点评:对于导数零点不可求的函数,利用零点存在定理,判断出零点所在的区间,设出零点代入所求的函数中达到消元化简的目的。

注:本文系2022年度河南省基础教育教学研究项目“基于双新的高中数学单元教学设计、实施与评价研究” (JCJYC2203010020)研究成果。