聚焦圆锥曲线中“设而不求”的命题视角

■广东省汕头市澄海凤翔中学 徐春生

“设而不求”是解圆锥曲线题时简化运算的一种重要手段,它的精彩之处在于通过设出相应的参数,利用题设条件加以巧妙转化,以参数为过渡,最大限度地减少运算量。同时,“设而不求”也是比较特殊的一种思想方法,其实质是整体结构意义上的变式和整体思想的应用。

一、活用定义,转化坐标

点评:设出点的坐标,先通过抛物线的定义,实现点的坐标与几何关系|AF|+|BF|=4|OF|的转换,然后借助根与系数的关系建立参数a,b的等量关系,利用“设而不求”,得到双曲线的渐近线方程。

二、妙用“点差法”,构造斜率

例2抛物线Ε:y2=2x上存在两点关于直线y=k(x-2)对称,则k的取值范围是___________。

解析:当k=0时,显然成立。

点评:设出A,B两点的坐标,通过“点差法”,巧妙地表达出直线AB的斜率,通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系,从而快速解决问题。

三、巧引参数,整体代入

例3已知椭圆的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM,AN交椭圆于M,N两点。

(1)当直线AM的斜率为1 时,求点M的坐标。

(2)当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一定点? 若过定点,请给出证明,并求出该定点;若不过定点,请说明理由。

解析:(1)当直线AM的斜率为1时,直线AM的方程为y=x+2。

(2)设直线AM的斜率为k,直线AM的方程为y=k(x+2)。

证明如下:

点评:本例第(2)问先设出直线AM的方程为y=k(x+2),联立方程,利用根与系数的关系求出xM,在此基础上借助kAM·kAN=-1,整体代入求出xN。这是解决圆锥曲线问题时常用的方法,简单易懂,通过“设而不求”大大降低了运算量。