一道高考试题及其变式研究

■福建省德化第一中学 吴志鹏(正高级教师)

例题:(2021 年全国乙卷第5 题)已知F1、F2是椭圆的两个焦点,点M在椭圆C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为( )。

A.13 B.12 C.9 D.6

命题思路:这是一道以椭圆为载体,利用椭圆的定义构造两线段的和为定值即椭圆上的点到两焦点的距离之和为定值,并利用基本不等式或其他方法求积的最值的高考试题。

分析3:利用三角换元,设点M(3cosθ,2sinθ),再利用两点的距离公式将|MF1|、|MF2|两条线段表示出来,求积转化为关于cosθ的二次函数求最值。

1.知识变式(变换知识的呈现场景)

变式1:用一段长为16 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地(墙的长大于16 m),则菜地的最大面积为( )。

A.64 m2B.48 m2

C.32 m2D.16 m2

分析1:根据题意,设篱笆的长为am,宽为bm,则a+2b=16。要求菜地面积s=ab的最大值,可利用基本不等式求出菜地的最大面积。

解法1:根据题意,设篱笆的长为am,宽为bm,则a+2b=16。

故选C。

分析2:根据题意,设篱笆的宽为xm,则长为(16-2x) m,则菜地面积为s=x(16-2x),进一步可利用二次函数求出菜地的最大面积。

解法2:根据题意,设篱笆的宽为xm,则长为(16-2x) m。

所以菜地的面积为s=x(16-2x)=-2x2+16x=-2(x-4)2+32。

当且仅当x=4 时,s取得最大值32,所以菜地的最大面积为32 m2。

故选C。

变式2:中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”,即假设在平面内有一个三角形,边长分别为a,b,c,三角形的面积S可由公式求得,其中p为三角形周长的一半,这个公式也被称为海伦秦九韶公式。现有一个三角形的边长满足a+b=14,c=6,则此三角形面积的最大值为( )。

分析:根据海伦秦九韶公式和基本不等式直接计算即可。

解:由题意得p=10。

当且仅当10-a=10-b,即a=b=7时,取等号。故选B。

变式3:已知直线l过点P(3,2),且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,则△ABO的面积取得最小值时直线l的方程为( )。

A.2x+3y-6=0

B.2x+3y-12=0

C.x+2y-6=0

D.x+2y-12=0

2.方法变式(利用基本不等式后转化为解关于x、y 的一元二次不等式求最值)

变式5:已知x＞0,y＞0,若2x+y=8xy,则xy的最小值是( )。

分析:对2x+y使用基本不等式,这样得到关于xy的不等式,解出xy的最小值。

3.素养变式(通过不同的情景构造使用基本不等式的条件,并用基本不等式解决相应问题)

变式7:△ABC三个内角A,B,C所对边分别是a,b,c,若a(bcosC+ccosB)=bc,则角A的最大值是( )。

分析:利用正弦定理将边化成角,再利用两角和的正弦公式即可得到a2=bc,再利用余弦定理及重要不等式求出cosA的取值范围,即可得到A的取值范围,从而得解。

解:因为a(bcosC+ccosB)=bc,由正弦定理可得a(sinBcosC+sinCcosB)=csinB,所以asin(B+C)=csinB,即asin(π-A)=csinB。

因此,asinA=csinB,a2=bc。