启发性提示语在高三数学复习课中的应用

陈明

摘要：高三数学复习的目的是帮助学生梳理知识点、归纳解题方法、完善个人的认知结构.启发性提示语包括认知性提示语、元认知提示语和方法论提示语.课堂教学中启发性提示语的运用可以由远及近、由易到难地引导启发学生思考，让学生学会自主建构知识体系，进行方法梳理，完善个人的认知结构，达到会学的目的，从而提高高三一轮复习的实效.

关键词：认知结构；启发性提示语；思维策略

高三数学复习的目的是帮助学生全面梳理知识点，归纳总结、优化解题方法，注意解题中的易错点，在此基础上完善和调整个人的知识结构和认知结构，提升个人的解题能力.学生能否较好地形成和完善个人的知识结构和认知结构，能否学会自主学习和思考，能否养成良好的学习习惯，与教师的课堂引导和启发密不可分.数学是思维的科学，而语言是思维的载体，因此课堂教学中教师的启发性语言对学生思维的发展、个人优良的学习习惯的形成至关重要.2022年10月18日，笔者在高三數学教学中成功地上了一节复习课，课题是《空间直线、平面的平行》.反思这节课，笔者觉得之所以能上好这节课，启发性提示语的应用起到了关键的作用，本文通过对这节课的反思，与各位同仁分享如何在复习教学中用好启发性提示语.

1教学过程

1.1问题导入，回顾定理

师：今天这节课我们打算解决两个问题，能不能解决就看大家的表现了.我们先来看第一个问题.

问题1：如图1，长方体ABCD－A₁B₁C₁D1中，E，F分别是B₁C₁，C₁D₁的中点，则EF与长方体的哪个面平行？

生：平面ABCD.

师：理由是什么？

生：根据EF∥BD.

师：EF也和B₁D₁平行，那怎么不和平面A₁B₁C₁D₁平行啊？

生：EF在平面A₁B₁C₁D₁内.

师：很好！请同学们完成知识梳理1，等会请一位同学复述一下.（学生用语言和符号复述，教师作图并板书）

设计意图：通过问题情境引入新课，贴近学生认知，符合新高考要求，易于引发学生思考.通过追问，让学生进行概念辨析，完善认知结构.通过对定理的文字语言表述、符号语言表达、图形语言展示，丰富学生的知识表征，有利于学生优良认知结构的形成.

1.2逐级提问，回归本质

例1如图2，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M，N分别为AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD.

1.2.1方法提问，归纳解法师：你是怎么写的？

生：取PD的中点E.

师：很好！你是如何想到的？

生：有一个中点，想到中位线，再取一个中点，构造平行四边形.

师：请说一下你的证明过程（方法1）.（生口答，师板书）

师：还有没有其他证法？你说说看.

生：取CD的中点.

师：很好！那你又是如何想到的？

生：我也是想到中位线，不过是，取CD的中点构造中位线，用面面平行证明（方法2）.

师：还有没有其他方法了？（学生思考一会儿，没有思路）

师：M，N是两条线段的中点，我们除了构造平行四边形，还可以构造什么？

生：中位线.

师：那如何构造？

师：N是PC的中点，那M肯定也是除AB外某条边的中点，那么这条边肯定过哪个点？

生：C点.

师：很好！请同学们尝试一下.

师：你是如何构造的？

生：连接CM并且延长，交DA的延长线于点Q，连接PQ（方法3）.

师：很好！那如何证明MN是中位线呢？

生：只要证明△BCM与△AQM全等.

师：很好！通过例1的解答，请同学们归纳一下如何证明线面平行，以及证明过程中要注意哪些问题.

生：可以通过线面平行证明，通过构造平行四边形或者三角形中位线，或者通过构造面面平行来证明.

师：那证明过程中要注意哪些问题呢？

生：注意书写规范，定理使用完整，以及没有证明的定理不能直接使用.

设计意图：通过学生解法的分析，思维过程的展示，引导学生思考解法.分析的过程中，以学生为主体，由易到难，通过问题对学生进行引导启发，符合学生认知，通过对解法的归纳总结，完善学生认知.

1.2.2变式提问，选择方法

师：很好！（变式1）如果M，N是三等分点，是不是MN也平行于平面PAD？如果平行，如何证明？

师：你是如何写的？

生：构造平行四边形.

师：你为什么用这个方法？

生：跟中点类似，容易想到构造平行四边形.

师：你又是如何写的？

生：构造三角形的三等分点，用相似证明.

师：那你为什么用这个方法？

生：跟构造中位线类似，比较直观.

师：有没有用方法2的？（没人举手）

师：为什么不用？

生：感觉证明的书写比较复杂，比较耗时间.

师：通过对三等分点问题的解决，我们发现在解题时要注意方法的选择.当然平时我们要多想一点解题方法，平时多想一点，考试才能少想一点，少算一点，想得好才能做得好.

设计意图：通过变式训练，让学生体会在已有的解题经验的基础上如何解决新的问题.通过学生对解法的分析、比较，启发引导学生注重解题过程中方法的选择，丰富学生的解题经验.

1.2.3拓展提问，认识本质

师：我们再来看一下方法1，不管是中点还是三等分点，四等分点，我们都可以构造平行四边形，那我们思考一下，它们还有什么共同特征？

生：都是把线段平移到平面内.

师：很好！那我们一起看一下动画（如图3），你有什么感觉？

生：感觉是把线段平行投到平面PAD上，而且长度不变.

师：很好，这样的一种投影我们称为平行投影.

师：我们再看看方法3，它们有什么共同特征？

生：也是把线段投到平面内，但是长度发生了变化.

师：通过动画（如图4），你能不能归纳一下，尝试起个名称？

生：线段平行投到平面PAD上，但是长度发生了改变，通过动画可以看出，好像是由点C投过来的，感觉可以称为中心投影.

师：说得很好！通过例1的解答，我们应该对例1有了深刻的认识.那下面来检验一下同学们的复习效果，我们来试试变式1.

（学生写完后，请学生点评）

师：你来点评一下，写得怎么样？

生：写得很好！

师：哪儿好？

生：定理使用完整，解题书写规范.

设计意图：通过提问，引导学生对前面两类解法做进一步归纳总结，从特殊到一般，提升学生的思维能力，促进学生对数学本质的认识.

1.3反思提问，学会学习

师：很好！到现在为止，问题1我们应该差不多解决好了，现在我们来解决问题2，你们猜猜问题2是解决什么问题？

生：线线平行.

师：你们很会猜啊！问题1是线线平行到线面平行，问题2是线面平行到线线平行，正好形成一个完整的闭环.那请同学们思考一下，我们应该从哪些方面来复习？

生：首先是定理以及定理的语言表述、符号表达和图形展示，然后是定理的使用以及使用方法，使用过程中要注意的问题等等.

师：講得很好！看来你已经知道如何复习了，那我们就带着这样的思考一起来研究问题2吧.

设计意图：研究完问题1后，通过问学生下面要研究什么问题以及怎么研究，能让学生从宏观上对所要复习的知识有个整体的印象，也能够启发学生思考如何复习，有利于个人自主学习能力的提高.

2教学反思

一般的高三数学复习课局限于归纳知识点，做做试题，然后讲评试题.其实，多半课堂没有重视对知识点的有序梳理、解题方法的对比小结、规范和细节的自我提醒，没有从整体上对一节或一章的复习搭建一个框架，学生也就没有在头脑中形成多级有序的知识结构和认知结构，不利于知识和方法的提取，直接影响复习的效率.启发性提示语的运用，不仅可以引导不同层次的学生对知识和方法进行有效地复习，还可以指导学生掌握良好的学习方法，有利于学生良好的学习习惯的形成.启发性提示语分为认知性提示语、元认知提示语和方法论提示语，课堂上根据实际情况，通过不同的提示语引导不同层次学生的思维参与，能够提高课堂效率.

2.1用认知性提示语构建知识体系

认知性提示语以认知规律来帮助学生思考，通常是对学生的思考提供知识性的帮助，更多与学科具体的认知内容有关［1］.认知性提示语指向学生的认知活动，与具体的知识直接相关，教师在具体使用时不仅问具体的知识，更多地需要问知识间的联系，这样才有利于学生构建良好的知识体系.如本节课在通过问题引入线面平行的判定定理时，通过提问“EF∥平面ABCD的理由是什么？”“EF也和B₁D₁平行，那怎么不和平面A₁B₁C₁D₁平行啊？”“你能用文字语言、符号语言和图形语言复述吗？”，复习回顾线面平行的判定定理、定理使用的注意点、定理的多种表示形式，丰富学生的知识表征，构建良好的知识体系.当然，复习完一节或者一章的内容后，还需要指导学生梳理知识网络，进一步筑牢个人的知识体系，有利于知识的提取和应用.

2.2用元认知提示语调节思维策略

元认知提示语是针对学生的元认知活动进行提示或发问，给学生思考提供一种自我内部指引或监控，促使学生对自身的认知活动进行自我调节和自我监控，并对其思维过程、思考方法和思维策略进行引导或提示［1］.通过元认知提示语的运用，引导学生对自己所从事的认知活动进行积极的监控、调节、预测、反思和评价，解决认知活动中考虑不全、思维受阻、方向不定、研究不透等问题，提高个人的元认知监控水平，有助于认知活动中思维策略的灵活运用.本节课中通过“你是如何想到的？”“你为什么用这个方法？”“为什么不用方法2？”“它们还有什么共同特征？”“你来点评一下，写得怎么样？”等问题，引导学生展示自己的思维过程，比较方法的优劣，归纳方法的本质，评价解题的规范，在不断认识和调节个人的认知活动中，促进个人思考问题的方式和思维策略的形成.

2.3用方法论提示语引导思考方式

在认知提示语和元认知提示语中，有一些提示语启发或暗示了思考问题的方法或方式，对学生研究问题具有方法论的指导意义，故称此类提示语为方法论提示语［1］.方法论提示语引导学生思考解决问题的一般方式，具有普遍意义，是人类本原的思想方法，是大方法.本节课中，“问题1我们应该差不多解决好了，现在我们来解决问题2，你们猜猜问题2是解决什么问题？”“那请同学们思考一下，我们应该从哪些方面来复习？ ”等问题，引导学生思考在研究完一个问题以后还要研究哪些问题，对于一个问题的研究一般从哪些角度来考虑.在平时的章节复习中，教师反复问学生这样的问题，引导学生学会问自己这样的问题，能够促进学生学习方法的改进、学习习惯的改善、思考问题方式的改变.

高三数学复习课应当根据不同的课型，如章节复习课、专题复习课、试卷讲评课等，采用不同的启发性提示语，由远及近、由易到难，启发引导不同层次的学生去思考解决问题，充分调动全体学生的思维参与.启发性提示语的长期运用，让这些启发性提示语最终变为引导学生思考问题的提示语，从而提高其元认知能力.参考文献：

［1］ 涂荣豹.数学教学设计原理的构建：教学生学会思考［M］.北京：科学出版社，2018.

［2］ 叶立军，赵亚婷.专家型教师与新手教师运用启发性提示语的差异研究［J］.教学与管理，2022（36）：4346.

［3］ 菫荣森.“启发性提示语”的追溯发展及其应用［J］.数学通报，2012，51（3）：1315.