认知结构视域下的三角函数内容学习探究

张艺凡

（西华师范大学 四川 南充 637009）

认知结构是个人将自己所认识的信息组织起来的心理系统。在实践中可以明显体会到，认识了的知识需要加以组织整理、存储在记忆中，才能有效地加以利用。因此，对于数学知识的学习也应当建立相应的数学认知结构。有效的数学认知结构可以促进记忆、减少记忆容量、推动知识的正向迁移。所以了解数学认知结构的作用影响，以及学生产生建立数学认知结构障碍的原因，可以帮助学生学会如何在数学学习中构建认知结构。

一、“原有”数学认知结构影响分析

数学认知结构是数学的概念、性质、公式、法则和定理等知识在学习者头脑当中的反映，是学习者在学习知识的过程中结合自己的感觉、知觉、记忆、想象、思维等认知活动，逐渐积累起来的关于数学方面的观念系统。但数学认知结构又不等同于数学知识结构。数学知识结构是指一个逻辑严密结构完善、语言严谨的数学知识体系，是人们长期探索出来的客观真理，不以人的意志所转移改变，而数学认知结构则是数学知识结构在学生头脑中的反映，通过学习者的感知、想象、思维等认知活动内化为学习者自己的结构。由此可见数学认知结构具有一定的互异性、主观性。

1.原有认知结构的可利用性

如果原有认知结构中具有新知识的固着点，就可以快速高效地同化新知识，找到新知识学习的关键因素，从而更好的顺应新知识，形成更加完整和高层次的认知结构。

比如，在我们高中学习任意角的三角函数定义时，最开始是由初中的锐角三角函数定义作为新知识的固着点的，再由锐角扩充到任意角，由比值表示函数到由坐标表示函数，从而自然引出任意角的三角函数定义。

2.原有认知结构的可辨性

新旧知识之间一定要有可以分辨的点，要明白新知识与旧知识之间的相同点和不同点。这样可以更加快速准确的找到同化新知识的固着点，形成良好的认知结构。

比如，在任意三角函数的定义当中，任意角的三角函数定义与锐角三角函数的定义，一个是用线段比定义，而另一个是用点坐标来定义，所以在任意角三角函数的定义当中就不能再混有锐角三角函数，这也是很多学生在理解任意角三角函数的一个易混点。

3.原有认知结构的清晰性和稳定性

学习者原有认知结构的清晰性和稳定性直接影响着学习者新知识认知结构的质量。如果原有认知结构当中的相关观念不清晰稳定，那么新知识的同化顺应一定会存在困难。比如，判定的最小正周期，很多学生会把它化简成，从而得出它的最小正周期为π，但是正解是2π。这是因为学生对于函数的旧知识理解不够深刻，关于函数的相关认知结构不够稳定清晰，导致了三角函数与函数知识联系薄弱，让学生把三角函数更多的是和简单计算问题联系在一起，而不是作为函数来研究，该问题主要考察的就是函数定义域对三角函数性质的影响。

二、“将有”数学认知结构建立分析

1.知识纬度

知识是客观存在的，不以人的意志为转移。而知识存在的意义就是供人学习，然后人又再不断地去发展知识，而认知结构就是个人将所认识的信息组织起来的心理系统。实践表明，对于认识了的知识必须进行再加工才能真正地被人所利用。而知识的再加工就包括知识的组织整理储存以及提取，所以认知结构的建构对于知识的组织和理解以及发展有深远的意义。例如对于三角函数来说，知识点多而杂，知识相似性大，容易导致学生在学习过后对于知识产生模糊性，同时初中知识会对高中学习产生负迁移。这时候数学认知结构的建立显得尤为重要。

2.教师纬度

对于教师来说，帮助学生建立完整的认知结构才是比单纯传授学生知识更重要的事情。面对当前的应试教育，还有很多教师都还是对学生采用“填鸭式”和“灌输式”教学以及“题海战术”，这些方式都是将知识看成是简单地堆砌，不利于教学目标的真正实现。教师应当挖掘知识之间的联系，注重学生心理上的活动而行为上的，帮助学生从一开始就建立良好的认知结构，这样才能使学生在从低阶段升入高阶段的学习后也可以游刃有余。良好的认知结构不仅可以提高教师的教学效率，也让学生可以真正地学好数学。

3.学生纬度

现今普遍认为数学的学习应当注重理解。理解数学不仅可以帮助学生记忆相关数学知识，还可以降低记忆的容量，除此之外还能促进知识的正迁移。而知识的理解需要有一定的心理图示，也还需要认知结构地再组织。由此可见，学生建立完整良好的认知结构是学好数学的关键。高中之前，学生学习的数学知识简单，学习的内容相对高中较少，这时认知结构的好坏对于学生的影响相对于高中没有那么明显，认知结构的重要性也就没有得到体现。但之前的认知结构建立不完善就导致一些学生在面对高中繁重的学习任务时感觉力不从心，这也是为什么很多初中学习成绩好的，到了高中却不一定能够保持学习水平的原因。

三、解决学生三角函数认知结构构建障碍的策略

广义上的知识可以分为陈述性知识和程序性知识两种。数学的陈述性知识包括数学事实（名称、符号、图形）、数学概念、数学原则（公式、定理、法则等），以及数学思想方法。而数学的程序性知识则是如何利用概念、规则、定理去解决问题。因此解决学生三角函数认知结构构建障碍也可以从陈述性知识和程序性知识两方面入手。

1.陈述性知识方面的策略

策略1：精细分析

三角函数的知识点多且大多以公式形式呈现，这时候应当讲清楚公式是如何推导来的，公式中的每一个符号代表什么。比如在三角形的诱导公式之中，把公式一到四概括为的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把 看成锐角时原函数值的符号。在讲解诱导公式时，应先讲解角的变化，再到诱导公式。同时教师应当重点强调公式里面把这一个部分看作是一象限的角而不是单纯指一个角。

策略2：有效组织

有效组织是指构建新知识的内在联系，运用已有的认知结构对新知识进行各自的组织与整理。在三角函数教学中，教师应当充分利用学生已有的认知结构，顺应学生的认知发展规律，这样可以让学生更好地理解三角函数，增强公式图形地记忆，让学生更容易接受。

策略3：及时复习

在实际教学中，许多老师都发现当学完一整章之后，大部分学生遗忘的很多。因此，我们应当及时复习巩固，能够对一章的知识形成一个知识系统。

2.程序性知识方面的策略

策略1：练习策略

程序性知识主要是表述“怎么做”的知识，程序性知识的学习目标就是运用概念、定理解决问题。因此对于程序性知识应当给予一定强度的有针对性的练习，以达到熟练运用知识的技能。同时在练习中也可以增强对陈述性知识的理解。

策略2：举一反三策略

举一反三策略即要在教学中注重变式训练的作用。变式是促进概括化最有效的方式，有效的变式训练不仅可以增强学生对于程序性知识的灵活运用能力，还可以引发学生思考，加强认知结构的建构。

策略3：反馈评价策略

学生在练习之后最需要的就是反馈评价自己。一味的练习并不能持续的作用于程序性知识的熟练程度，应该在每一个练习中发现自己的错误的原因，认真分析，这样才能增强程序性知识的学习。