波利亚解题思想下GeoGebra辅助数学解题教学

宁绍鹏　罗李平

摘要：学生能在解题过程中，获得数学基本知识、基本技能、基本活动经验以及基本思想，并提升发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.本文聚焦数学核心素养，尝试在波利亚“怎样解题表”的指引下，借助GeoGebra解决一道三角函数试题，以期为数学教师优化解题教学以及将GeoGebra融入高中数学课堂提供实践参考.

关键词：解题教学；GeoGebra；波利亚解题思想；数学核心素养

解题教学是数学课堂重要的组成部分，同时数学问题可为学生巩固、深化数学内容提供思维的材料.在解题教学中要聚焦数学核心素养，引导学生积极联想已学数学基础知识，掌握基本技能，积累数学基本活动经验，体会数学基本思想.只有具备了“四基”，数学核心素养才能得以发展［1］.学生数学核心素养的形成并不能一蹴而就，需要在数学知识学习与运用过程中逐步养成.高中数学题目难度大，复杂度高，难于理解，且解答步骤较长.教师选择典型性数学问题进行讲解，能够减轻学生的学习负担，有利于学生举一反三地学习数学知识，避免陷入“题海战术”的困局.

谈到解题教学，绕不开的便是数学教育家波利亚.波利亚将其解题思想提炼为“怎样解题表”，为解题提供了具体的思路.该表不仅包含数学解题的一般规律，而且还蕴藏着数学学习中元认知的“味道”，把数学解题的过程描述成四个阶段：理解题目、拟定方案、执行方案与回顾，并且在每个阶段设置了一连串的启发性问题以引导学生如何思考［2］.

教师在教学中要充分考虑高中生的理解接受能力，借助直观的方式帮助学生理解数学知识，感悟其中的逻辑关系.如今以板书为主要呈现方式的讲授方式在教学受到了一定的限制，但信息技术能帮助教学突破限制.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》中也提到“教师应注重信息技术与数学课程的深度融合，实现传统教学手段难以达到的效果.例如，利用计算机展示函数图象、几何图形运动变化过程”［1］.

在一线教师接触的众多数学教育软件中，GeoGebra脱颖而出.GeoGebra作为一款动态数学软件，适用学习阶段包括小学、初中、高中乃至大学，功能上也覆盖了函数、几何、代数、统计与概率且做到了联动.2019年人教A版高中数学教材也将其作为主要的信息技术工具进行演示，也推荐学生和教师使用它进行探索学习.由于GeoGebra具有适用范围广、功能强大、多平台免费使用等显著优势，数学教师们也开始积极主动将其融入到高中数学教学课堂［3］.

1问题呈现

2教学过程

师：这个问题让人摸不着头脑，可以尝试利用波利亚“怎样解题表”来解决问题.“怎样解题表”的四个步骤依次为理解题意、拟定方案、执行方案与回顾.实际上这四步也是四条指示语，引导我们如何解题.

2.1理解题意

有效地审题能够快速找出问题的切入点，因此解决问题第一步便是要求认真挖掘题目中的条件.通过反复阅读题目，抓住问题中的关键字眼，将问题用数学符号语言表示出来，更能观察到条件某些等式的特征，才能建立起恰当的联想，发现解题的思路，使用数学方法与思想，锻炼学生的数学能力.也只有对问题有了透彻的认识，才能开始下一步拟定计划.需要注意的关键问题有：这是什么类型的题目？已知条件、结论是什么？隐藏信息有哪些？需不需要作图？

2.2拟定方案

拟定方案需要学生利用转化与化归思想，能够将问题简化，即将复杂的问题转化为一个个可以解决的小问题，这是能够能否顺利解题的关键所在.在拟写方案时要考虑问题的条件与结论两方面，灵活结合分析法与综合法，使得问题的条件与结论有效链接.需要注意的关键问题：见过类似的问题吗？涉及什么数学知识点？涉及什么数学思想方法？充分利用条件了吗？

2.3执行计划

拟定方案下一步便是实施方案，将探索出来的方案按照规范执行.虽说是按照方案实施便可，但是其中的规范要求也很多.第一，在解题的过程中正确使用数学符号语言进行计算推理，规范书写；第二，计算过程要准确且快；第三，推理论证要依靠公理定理；第四，依照题意作图，详略得当.需要注意的关键问题：这一步推理或计算正确吗？证明用到了什么公式或定理？计算用到了什么公式知识？

2.4回顾

解题最后的环节是回顾，看似多余的一步，实则举足轻重.一方面，解题后回顾能及时纠正错误，锻炼学生的检查能力；另一方面，对问题进行引申、推广、变形，能够使学到的方法技能思想运用到更大范围内，帮助学生构建良好的数学知识网络结构.注意到关键问题：检验这个结果正确吗？有没有其他的方式能得到这个结果？有没有更快捷的方法？这个结论能进一步引申吗？

3GeoGebra操作过程

4结语

在解题教学中，教师可以大致按照波利亚“怎样解题表”的四个步骤开展教学活动.教师将“怎样解题表”与数学问题连接起来，对培养学生的数学运算、逻辑推理有着重要作用.教师在依照“怎样解题表”教学时，要注意设置合理的问题串，展现不同知识的逻辑关系.通过设置循序渐进的问题串，将复杂的过程分解成一个个小问题，有助于学生从已有知识经验中找到与之关联的知识点，并运用到问题解答当中去，为学生拟定方案降低了难度.“怎样解题表”最后一步回顾是对解题活动的反思，是解题活动的元认知.回顾是更高级的思维活动，在这个阶段学生经历一题多变、一题多解的过程，不断完善数学知识技能与方法，积累数学活动经验，体会数学思想的指引作用，有助于培养学生的数学核心素养.

在解题教学中，当遇到难以突破的障碍时，不妨考虑使用GeoGebra软件.纵观整个过程，GeoGebra的操作没有很复杂，通过动态形象的方式，使学生清楚地看到某些参数对函数图象的影响，帮助学生突破了想象的限制，进而帮助学生更高效地進行数学思维活动，这对培养学生直观想象有极大帮助.同时，GeoGebra融入数学解题教学弥补传统板书教学的不足，优化了教学过程，活跃了课堂氛围.教师可以考虑将GeoGebra融入高中数学解题教学中去，并与传统解题教学对比，取长补短，为课堂增效.参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 李渊.基于波利亚解题表的解题研究——以一道导数极值偏移题为例［J］.数学之友，2022，36（24）：6466.

［3］ 杨林，刘梅.简单易学的开源动态数学软件——GeoGebra［J］.中国信息技术教育，2018（10）：5659.