数学认知结构下的数学学习

贵州师范大学数学科学学院，贵州贵阳 550025

数学学习的实质即学生在教师的指导下，能动地建构自己的认知结构，最终自己得到全面发展的过程。简单来说，就是在教师指导下，学生获得数学经验的一种过程。心理学中的认知过程，指个体通过对外界事物的感觉、知觉、联想、思维等一系列信息加工的活动，良好的数学认知结构是后继数学学习的需要。通过对数学认知结构含义及其特征的探究，来进一步提高学生的数学学习。

1 数学认知结构含义及其特征

所谓的数学认知结构，指学生对来自于在界的数学知识通过自己的感觉与直觉、思维等认知活动，对数学知识进行内化加工处理，在认知等的心理活动的作用下，形成一个具有自己内部规律的完整组织结构。数学教育工作者对数学认知结构特点的深入把握，有助于学生的数学学习。

1.1 数学认知结构具有主观性

数学认知结构是由外部的客观的数学知识和学生内部的思维活动两方面共同作用而成。数学知识是客观存在的，当教师将教材里陌生的数学知识通过课堂教学呈现在学生面前时，学生会通过自己的感觉、知觉、注意、理解、记忆等思维活动、心理活动来对这些数学知识按照自己的方式进行信心加工处理，内化为具备自己思维属性的认知结构，并且在内化过程中会保留数学知识原有的抽象性与逻辑性等的特点。数学知识的抽象程度亦或是否具有很强的逻辑性对学生采取的认知方式也会有一定程度的影响，逻辑性强的知识更需要学生投入多一些自己的理解，进而去归纳总结该知识点；对于一些较为抽象的数学知识，前期对相关的一些事物的感觉、知觉要更多一些，对于后期理解知识点会更有帮助。总而言之，数学认知结构是教材中数学知识同学生的认知心理活动二者间相互作用的产物。

1.2 数学认知结构受已有数学知识与数学经验的影响

从数学认知结构的形成来看，均是在学生已有的数学知识基础上能动建构的，数学认知结构的形成离不开学生的旧数学知识和积累下的数学经验，因此，数学认知结构是不断在新旧数学知识的交替与融合中不断地更新与重构，数学认知结构得到深化，丰富数学经验，在此方式下，学生将所习得的数学知识转化为自己的经验，将数学知识长久地保留在自己的头脑中。

数学认知结构既是一个整体又具有各个知识块的特殊属性。从宏观上来说，数学知识与数学经验同学生认知心理活动后的产物及时数学认知结构；从微观上来分析，数学知识又可以分为数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践这4 大块，每一知识组块有各自的数学认知结构，且各数学认知结构又是“互通有无”与“交流”的状态。例如“数与代数”认知结构的掌握有利于学生后续“图形与几何”的学习。

1.3 数学认知结构与学生学习习惯相关

数学认知结构的形成离不开学生的数学学习的心理活动，每个学生的认识水平与方式都是存在着差异性，因此彼此的数学认知结构的风格也就有很大的不同之处。从知识类型来分析数学认知结构，根据知识的不同状态与表达形式可以分为陈述性知识与程序性知识。在数学学习过程中，有的同学会更擅长公式的记忆，也就是陈述性知识的学习，而有的同学则更倾向于程序性知识的学习，如公式的推导与证明等。陈述性知识较易获得但也比较容易被遗忘，而程序性知识一旦获得，经历后期的巩固之后可以牢牢地被学生掌握，因此，以擅长掌握陈述性知识的学生的数学认知结构较不稳定些，而喜欢操作性知识学习的同学的数学认知结构中就更会储存较多的可用于实践操作性的数学知识。由此，数学认知结构与学生的学习个性有莫大的关联性。

1.4 数学认知结构具有秩序性

小学阶段学习数的概念逐步形成有关数的基本的数学认知结构，到了初中阶段掌握有关方程的运算，此时，有关“数”的数学认知结构就得到了充实，由此可见，从纵向来看，数学认知结构的形成是循序渐进，遵循着一定的顺序的。从横向来看，在某一阶段的教育中，学生不仅会学习“数”的知识，同时也会学习“图形与几何”方面的数学知识。数学认知结构无论是从纵向还是横向发展来看，均是按照一定的层次秩序依次进行的。

1.5 数学认知结构具有发展性

个体的数学认知结构是一直处在发展的状态下，并非是一成不变的，新旧数学知识以及数学经验都会影响数学认知结构的形成与发展。新旧数学知识的不断融合，数学经验的累加，学生的数学认知结构不断得到发展，在这过程中需要不断地进行知识的同化与顺应。学生根据新的数学知识的种属进行同化或是顺应等认知活动，一部分同化到旧知识中扩大原有的认知结构，一部分顺应成为头脑中的知识，经过认知操作等信息加工处理成为新的数学认知结构，丰富了原有的认知结构的种类。

2 良好数学认知结构的的特征

2.1 良好的数学认知结构具备良多的观念

在小学阶段学生从简单的“5+6=？”的问题入手，掌握基本的加减乘除运算，随着年级升高，逐渐学习3位数的加法、两位数与两位数的乘法运算；小学升入初中，学生开始学习多项式合并同类项、一元二次方程的多种解法；考入高中，学习复数的运算，由此可见，随着学段的提高，每个学段的问题解决都需要前面所学知识来作为辅助。具备越多的知识组块对后续数学问题的解决越有利。

2.2 良好的数学认知结构具备稳定且良好的产生式

前文提到了要有足够多的观念，在解决数学问题过程中，这些可利用的观念只是解决问题的工具，但是工具同时也需要会操作的人来运用，才会达到问题解决的效果。美籍匈牙利数学家波利亚“怎样解题”表给我们提供了适用的解题思路。当学生对于某一类型的问题掌握足够的基础知识后，拿到问题，在头脑中浮出“怎样解题”表，“未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？”，在了解问题后，进行下一步“拟定计划”，“你以前曾见过他么？”，“你用了全部条件吗？”等等，之后是实行计划，最后返回问题，检查自己的答案。产生式的目的是唤醒学生的心理活动或是心理运算。

2.3 良好的数学认知结构具备有序的知识组块

学生在具备了稳定的产生式后，需要头脑中的各级各类的知识组块有秩序地排列。根据数学知识类型来看，分别有“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”4大知识组块，从解题方法来看，例如有“待定系数法”、“配方法”、“函数法”等知识组块，这些知识组块如果是杂乱无章储存在头脑中，纵然有太多的产生式，也无法完成数学问题的解决。反之，各类别知识组块依照本质属性分门别类地储存，在头脑中形成一个有层次有条理的知识网格结构，提高问题解决效率。

2.4 良好的数学认知结构具备一定的问题解决策略的观念

传统学习中常常提到的“熟能生巧”即是通过多加练习，后期多多总结解题技巧等来提高问题解决能力，在联系的过程中，学生的问题解决策略也会逐渐积累，根据题目的具体要求，选择最适合题目的策略，这种问题策略是靠着多次的联系逐渐积累与掌握。

3 数学学习的一般过程

根据学习的认知理论可知，数学学习的过程是新的学习内容与学生原有的数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程。依据学生认知结构的变化，可以将学习的一般过程划分为3个阶段：输入阶段、相互作用阶段、操作运用阶段。

3.1 输入阶段

在这一起始阶段，学生在教师创设的数学情境中接触新的数学知识，并同时唤醒起头脑中与此相关的原有的旧知识，通过对新知识的感知，以及同旧知识间的对比，完成对新知识的的接受。学生接受新知识需要教师创设一定的情境，此情境要激起学生的求知欲望，燃起学习的热情，学生能够通过情境的渲染，达到认知冲突，开启数学学习的过程。

3.2 相互作用阶段

相互作用阶段离不开同化与顺应。一方面，在知识建构过程中，学生需要以原有的知识经验为基础来同化新知识，这也意味着学生对于新知识的理解离不开旧知识和原有的数学经验的支持，通过将新知识纳入原有认知结构而引起认知结构发生量变的过程，叫做同化。另一方面，新知识与原有观念存在一定的偏差时，新观念的进入则会使原有的观念发生一定的调整，以顺应新知识的接纳。

例如，学生在学习“一元一次方程”这一章节时，与此内容相关的原有数学认知结构有“有理数”、“整式”等内容，“一元一次方程”的学习可以在相关原有认知结构接触上，扩充旧知，丰富原有的数学认知结构。

总的来说，“同化”与“顺应”二者是同时存在于相互作用的阶段，是学生在数学学习过程中两种不同的认知方式，各自的侧重点存在着一定的差别。

3.3 操作运用阶段

数学学习最终是要提高学生的问题解决能力，在这一阶段，即是指通过数学练习，强化学生对于新知的掌握，恰当的数学练习可以完善学生的数学思维活动。这一阶段的目的是一方面使学生牢固掌握新知识完善认知结构，另一方面使学生掌握相应的问题解决方法，提高问题解决能力。

良好的数学学习离不开心理活动的探索，以认知结构为基石，从数学认知结构出发来探究学生的数学学习路径，有利于改善学生的认知图式，提高学生的数学学习质量，另一方面也能够给教师以教学方面的启发，优化数学课堂，提高教学效率，完成教学目标。因此，有效的数学学习离不开数学认知结构的完善。