基于思维发展 挖掘习题价值

程元元

摘要：数学教学中，面对学生的错题，应充分挖掘其中的价值，教师的点评不仅以学生的思维发展作为出发点和归宿，还要充分研究、精心设计.本文从一道向量试题出发，展示了如何基于学生的思维发展设计教学过程和进行相应的思考.本文主要从以下几个方面进行了思考和设计：（1） 进行同类变形，拓宽思维的广度；（2） 适时维度上升，加深思维的深度；（3） 利用图形语言，促进思维可视化；（4） 捕捉生长点，激发思维发散性；（5） 关注外延化，促进思维延展性.

关键词：思维发展；习题教学；教学研究

习题教学是数学学习的一个重要的形式.学生完成巩固练习之后，针对学生出现的问题，教师的有效点评尤为关键.高效的点评，可以完善学生的知识网络建构，弥补学生的知识空缺，提高学生对问题认知的高度和把控度，同时还能提升学生的运算求解能力.因此，习题点评需要精心的设计，其出发点和落脚点都应该是基于学生的思维发展.基于学生思维发展的设计，能够帮助学生启发思考，形成良好的数学思维，激发学生的问题意识，提高学生的问题解决能力.波利亚曾经说过，我们永远不能研究透彻一道题目.所以，教师需要充分研究数学问题，尤其是要将学生出现的问题进行有机的整合，探寻其内在逻辑，从试题的源与流出发，帮助学生厘清脉络，完善知识结构，让学生不断突破和创新，促进学生思维的发展和能力的提升.

下面以苏教版高一数学必修一《§6.2平面向量的运算》这一节的作业讲评为例，展示其习题讲评的设计和相关的思考.

学生当前的学习状态是认识了向量这一数学元素并研究了向量的四种运算（加法、减法、数乘、数量积），关于平面向量基本定理和向量的应用还没有涉及.

1进行同类变形，拓宽思维的广度

2适时维度上升，加深思维的深度

3利用图形语言，促进思维可视化

可视化现在越来越受到各个领域的青睐.思维可视化是指运用一系列图示技术把本来不可视的思维（思考的方法和路径）呈现出来（如表1），使其清晰可见.在思维的促进方面，可视化可以助力学生的深度学习和思考，有利于学生的理解和记忆.

在完成上述问题的思考和探究之后，引导学生从图形的角度重新审视上述问题及其结论.

4捕捉生长点，激发思维发散性

一个问题的研究，类似于一颗树木的生长，永不会停止.思维的生长亦是如此.培养学生思维的发散性，有利于学生多角度地看待和分析问题.对于直线BC上的任意一点D，AD都可以用AB和AC线性表示，并且系数和为1.同时，对于点D的不同位置，对应的代数表示形式是唯一的.那么，直线BC又被点B和点C分为三部分：① 线段BC上；② 线段BC的延长线上；③ 线段CB的延长线上.当点D分别位于直线BC上的不同位置时，我们猜想对应的系数λ和μ也会不同，是否可以一探究竟呢？

【思维拓展6】根据已有的研究结果，当点D分别位于①线段BC上；②线段BC的延长线上；③线段CB的延长线上时，代数表达形式AD=λAB+μAC中的系数λ和μ有什么取值规律？

对于以上三种情况，学生已经有了①和②两种情况的经验积累，只需举一个当点D位于线段CB的延长线上例子即可.研究过程与其它情况类似，于是可以总结如表2所示的规律.

对于点D的不同位置，在线性表示中对应的系数λ和μ的取值则会有不同的体现.在教学中也可以引导学生从几何作图的角度理解这里系数正负的变化.以图形的转化促进学生思维的直观化，帮助学生更加清晰地认识这种对应关系.

从不同的角度、方向和途径去审视，探求多种设想和答案，可以充分发挥学生的想象力，突破学生原有的知识圈.不依常规，寻求变异.这种思维活动应该在平常的教学活动中有意识的设计和引导.

5关注外延化，促进思维延伸性

在变化中寻找不变的东西，在数學研究中是一种常见的形态.对于动态问题的研究，寻找规律性和不变量是一种良好的思考角度.例如，后续解析几何中的定点、定值问题，殴拉多面体公式V+F-E=2（拓扑不变量）等等.这类问题的设计可以引导学生善于观察已有的数学形态，培养学生观察和总结的数学习惯和数学思维方式.

教师应调动学生的好奇心，激发求知欲，促进思维的发散性.此时，正是引导学生设疑置问的最佳时机.如果系数和不是“1”而是其他的常数，比如“2”呢？思维拓展7应运而生.

学生就有一种想要一探究竟的渴望，在学生的疑惑点上巧设问题，想学生所想，答学生所惑，是教师设问的最佳境界.

由于课堂时间的约束，也囿于班级学生的课堂反映程度，这个问题的解决可以依教学实际而定.时间和学生接受能力允许的话，可以在课堂内完成，否则可以作为课后思考探究问题.

这其实就是“等和线”的问题.这个问题在引导学生处理的时候，可以把系数和不是“1”的情况转换为系数和为“1”的情况进行解决，化难为易，在这里可以给学生渗透把不熟悉的问题转化为熟悉的问题是解决问题的常规思路.具体解决过程此处不再赘述.同样也可以用图形语言帮助学生实现思维的直观化.事实上，当λ+μ=2时，对应的点D所在的位置在一条直线上，并且该直线与直线BC平行且在直线BC的外侧（远离点A）；当λ+μ=1/2时，对应的点D所在的位置也在一条直线上，并且该直线与直线BC平行且在直线BC的内侧（靠近点A）.与如图2所示.

在此基础上，甚至可以继续引导学生去猜想和研究，当λ+μ=a（a为非零常数）时，随着常数a的变化，点D的轨迹直线又会产生怎样的变化.

于是，思维拓展可以继续……再继续……

正如前文所述，学生的思维发展就像一棵茂密的大树，生长可以横向，也可以纵向，可以交叉，也可以平行，可以在思维发展的过程中继续探寻思维的生长点，再产生新的枝丫，也可以流向更加广阔的未知空间，促进思维的延展性.所以教师的教学设计的起点和归宿都应该是学生思维的发展，并且具有可延伸性.一个问题的讲解设计应充分挖掘该问题的源与流，探寻源头，落实当下，期待流向.参考文献：

［1］ 许怡波.核心素养下的高中数学思维能力培养［C］//中国教育发展战略学会教育教学创新专业委员会.2020全国教育教学创新与发展高端论坛会议论文集（卷一）.中国教育发展战略学会教育教学创新专业委员会，2020.

［2］ 弗赖登塔尔.作为教育任务的数学［M］.上海：上海教育出版社，1995.

［3］ 徐章韬，梅全雄.论基于课堂教学的数学探究性学习［J］.数学教育学报，2013，22（6）：14.

［4］ 祁平.基于探究的数学教学的哲学思索［J］.数学通报，2014，53（8）：2228.