高中集合知识中数学思想方法的教学研究

盛晗笑 余波 董宁

［摘  要］ 在教学中传递数学思想方法，对学生全方面发展以及创新型人才的培养都有着重要意义. 研究者通过教材分析、访谈以及文献查阅等方法，从教和学的角度探究应用于集合教学的数学思想方法，分析教师教和学生学存在的问题，并提出有针对性的教学对策，从而帮助教师在集合教学中能够有效渗透数学思想方法，提升学生的数学素养.

［关键词］ 集合知识；数学思想方法；教学对策

引言

21世纪以来，国家各行业领域对于创新型人才的需求持续增长，如何培养创新型人才成了教育领域一直以来讨论的话题. 创新型人才的基础是人的全面发展，而其所具备的意识、能力以及精神等并不是凭空产生的，它们与人才的其他素质有着密切的联系. 在大数据时代下，对有意义的数据进行专业化处理是创新型人才应具备的能力，而这项能力的培养离不开数学思想方法的帮助.

在传统的教育环境下，数学教学大多以知识讲授为主，学生无法从中理解知识的深层含义，也无法掌握数学思想方法. 《普通高中数学课程标准（2017年版）》提到，高中数学要以发展学生数学学科素养为导向，创设合适的教学情境，从而引导学生把握数学内容的本质，而高中数学教学离不开数学思想方法的指导，缺少了数学思想方法，学生的数学学科素养就得不到有效提升. 因此，教师要利用合理的教学方式，传递数学思想方法，让学生能理解并应用，为学生适应社会发展并成为创新型人才打下良好的基础.

集合是高中数学的第一个概念，它贯穿整个高中数学，是学生必须学习的基础知识以及数学语言. 在集合教学中，要让学生掌握数学思想方法，不仅需要教师根据实际情况调整教学方式，也需要学生不断改善学习策略.

数学思想方法的概述及研究情况

1. 数学思想方法的概述

数学思想方法指的是人们在数学活动不断进行的情况下，将所得的数学经验进行总结，再加以抽象概括形成的带有普遍指导意义的思想方法. 高中数学主要包含以下几种思想方法.

（1）函数与方程思想方法.

函数与方程思想方法是高中数学基本的数学思想方法，包含函数思想方法和方程思想方法两部分. 函数思想方法指的是用运动和变化的思路去分析和研究数学中对象间的数量关系，从而建立函数关系或构造对应的函数，再运用函数的图象和性质去分析问题、解析问题. 方程思想方法指的是通过分析数学问题中变量间的等量关系，列出未知数，建立方程或方程组解决问题. 函数与方程是可以相互转化的，掌握函数与方程思想方法，学生可以更好地理解数学中的一些动态问题.

（2）数形结合思想方法.

在高中数学中，数学研究对象通常分为“数”与“形”两部分，两者间存在一定的联系. 因此，借助“数”来阐明“形”的特性，或者利用“形”来表达“数”的关系，就是数形结合思想方法的应用. 掌握数形结合思想方法，学生可以有效提高抽象思维能力和形象思维能力，提升数学素养.

（3）分类与整合思想方法.

分类指的是当问题包含多种情况不能统一研究时，需要按照一定的划分标准对问题进行分类研究. 而整合指的是对问题进行分类讨论后，需要综合并检验所得结论，从而得到解决问题的最终结果. 掌握分类与整合思想方法，有利于学生以更全面的眼光看待事物［1］.

（4）化归与转化思想方法.

化归与转化思想方法指的是在解决较难的问题时没有思路，通过对问题的观察、分析，运用适当的原则和方法将较难的问题转变为较熟悉或简单的问题进行解决的思想方法. 掌握化归与转化思想方法，学生可以不断突破、不断发展，以已有的知识和经验解决未知问题.

（5）特殊与一般思想方法.

特殊与一般思想方法指的是当面对一些较抽象或难以解答的问题时，通过取特殊值或用特殊方法去解决，或者根据特殊问题推导出一般结论的思想方法. 学生一旦掌握特殊与一般思想方法，就可以利用规律解决新问题，也可以通过个例推导出一般规律，从而有效提高解题效率.

（6）有限与无限思想方法.

有限与无限思想方法指的是把问题中的无限情况转化成有限情况来解决，或将有限情况转化为无限情况来解决的思想方法. 学生一旦掌握有限与无限思想方法，就可以加深知识理解，扩大知识面.

（7）或然与必然思想方法.

或然与必然思想方法指的是在概率事件中，利用偶然规律寻找必然，或者利用必然事件解决偶然事件的思想方法. 掌握或然与必然思想方法，学生可以运用或然与必然的辩证关系解决实际问题.

2. 数学思想方法的研究情况

古希腊几何学家欧几里得在亚里士多德三段论的基础上创作了《几何原本》，系统描述了公理化方法. 德谟克利特在古希腊唯物主义哲学家留基伯的研究基础上发明了“无穷小分析法”，阿基米德在古希腊诡辩论者安提丰发明的“穷竭法”的影响下发明了定积分. 这些方法和结论都蕴含着一个非常重要的数学思想方法——极限思想方法. 古希腊的数学家将数学和哲学融为一体，以哲学理论推动着数学的发展，并由此发现了一系列数学思想方法.

美國数学家M·克莱因编写了《古今数学思想》，阐述了数学思想方法发展的历史；日本数学家米山国藏的著作《数学的精神、思想和方法》则系统论述了贯穿数学的思想方法. 此外，国外还有许多学者对数学思想方法进行了细致研究，这些研究成果对我国的数学发展产生了重要影响.

我国东汉初年编订的数学经典著作《九章算术》确定了我国古代数学的框架，它的出现标志我国古代数学形成了完整的体系，在算术、几何和代数等方面均有涉及.

徐利治教授编写的《数学方法论选讲》《数学方法论教程》等著作，强调数学思想方法在我国中学数学中的重要性；郑毓信教授发表的《数学方法论》《数学方法论入门》等著作则从不同维度对数学方法的教育进行了阐述. 此外，国内还有非常多优秀的学者对数学思想方法进行了研究，并运用到了中学数学教学中，为我国的数学教育做出了非常大的贡献.

高中集合知识的研究情况

1. 集合知识的教材分析

以人教A版数学必修第一册教材（2019年版）（下文简称教材）为例，集合知识集中于第一章，主要包含集合的概念、集合间的基本关系和集合的基本运算三部分. 集合是高中数学引入的第一个概念，是贯穿整个高中数学的语言，与后续学习的不等式、函数、几何等高中数学知识有着密切联系. 学好集合能够帮助学生在生活中运用数学语言解决问题，也能够为之后的高中数学学习打下良好的基础.

2. 集合知识蕴含的数学思想方法

单纯的集合知识不难理解，但是集合知识与其他数学知识相结合的综合题常常令学生手足无措. 只有将数学思想方法融于所学的数学知识中，让学生发现知识间的内在联系，才能帮助学生更好地理解知识，提升学生的数学素养，促进学生全面发展.

集合知识的教学现状和学习现状

1.集合知识的教学现状

笔者通过对某地区部分高中数学教师的访谈，发现其在集合知识的教学中存在一些问题，之后对这些问题进行了整理归纳. 结合对文献资料的整理，与上述结论进行了比对，归纳出以下几个方面.

（1）忽视了集合内容的重要性.

在访谈和文献查阅中发现，部分教师认为集合知识比较简单，讲解得较快，且在之后的章节中也没有格外强调集合语言的重要性［3］. 这导致学生无法充分理解集合知识，也无法发挥主观能动性，同时把集合知识与其他数学知识割裂开来，使学生解答集合综合题时比较茫然，不知道如何下筆.

（2）集合教学为应试服务.

部分教师在集合知识讲解中特别关注与考试相关的题目，更注重考试题型和解题技巧，同时只从成绩上考查学生理解集合知识的情况. 这使得学生盲目关注解题，而忽略了集合语言的真正内涵.

（3）集合知识的讲解过于单调.

集合知识是高中数学的第一个概念，有着非常重要的意义. 且集合是一门数学语言，学习并理解集合对学生的数学思想方法的发展有着非常大的帮助. 但是部分教师讲解集合知识时既没有注重导入环节，又比较单调，例题的设置与现实生活缺乏联系，这样的教学方式很难让学生提起对集合知识的兴趣，自然无法激发学生的学习动力.

（4）对教材的研究不够透彻.

新课标提到，高中数学要以发展学生的数学学科素养为导向，创设合适的教学情境. 但当前的教育环境下，一些教师对教材的研究还不够透彻，掌握不到可以有效促进学生理解数学知识、发展学生数学学科素养的方法，因此也就无法有效展开集合知识的教学.

2. 集合知识的学习现状

通过对某地区部分高中生的访谈和问卷调查，以及对高中生集合习题完成情况的研究，发现其在集合知识学习中存在一些问题，之后对这些问题进行了整理归纳.

（1）对集合知识理解困难.

学生对集合概念不清楚，理解困难，具体表现在：①子集和真子集的概念；②常见数集的分类及字母表示；③属于关系和包含关系的概念；④集合的基本运算；⑤空集与含“0”元素集合的概念区别；⑥补集的概念.

（2）对集合知识应用困难.

部分学生虽然对集合概念有了一定的了解，但是无法用合适的集合知识解决问题，具体表现在：①知道交集、并集、补集的概念，但是混合运算存在困难；②对有关集合的综合题无从下手；③求解子集问题时容易忽略空集的存在.

（3）对集合要素把握不深.

学生对集合要素把握不深，特别是集合的互异性. 当提到集合三要素时，学生容易回忆起“确定性、无序性和互异性”，但求解一些含代数式的集合时，部分学生通常会得到含相同元素的集合作为最终答案，这说明他们对集合三要素并没有完全理解.

渗透数学思想方法的集合教学策略

1. 深入研究教材，更新教学理念

集合知识在教材的第一章，内容比较基础，但如何让学生从中掌握集合语言，运用集合语言对数学内容进行描述是一项艰巨的任务［4］. 教师要重视集合知识的重要性，在进行集合教学前要深入理解教材的编排意义，对集合知识有一个整体把握，这样才能在课堂教学中有条不紊地将知识传递给每一位学生.

通过近几年的高考试题研究，可以发现高考题目的设置不再着重考虑学生的解题技巧和机械运算，而是更关注学生对试题的理解能力. 因此，教师需要持续更新教学理念，在进行集合知识教学时要重视数学思想方法与集合知识的结合. 比如，在传递数形结合思想时，教师可以利用多媒体技术展示相关图形的制作，让学生直观感受数形结合的作用. 又比如，在传递化归与转化思想方法时，教师可以组织学生就集合综合题展开讨论，让每一位学生根据题目谈谈自己想到的知识，这样可以有效提高学生思考问题的灵活性.

2. 创设学习情境，融入数学史

如果教师讲授集合知识时过于单调，只是一味地讲解概念，那么学生学习数学的热情就会大大降低，数学思想方法也就无法顺利地传递给学生. 这就决定教师在教学时要根据知识不断创设学习情境，渗透数学思想方法，将集合知识与生活实际相结合，加深学生对集合知识的理解. 在后续如不等式、函数等知识的教学中，也可以创设用集合语言进行表述的问题，促使学生复习集合知识，对集合知识有更加深刻的了解.

数学史是数学的一部分，在教学中融入数学史可以帮助学生了解数学发展的过程. 教材的编排是符合逻辑结构和学习要求的，但它舍弃了许多数学知识和方法形成的背景和过程，若学生只学习教材上的内容，则难以了解数学全貌. 这就需要教师在教学中融入数学史，让学生体会数学发展的脉络，了解数学知识产生的背景，增加学习动力.

3. 课后及时总结，归纳数学方法

上完一节数学课后，如果教师没有带领学生进行总结归纳，那么学生脑海中的知识就显得杂乱无章. 作为引导学生理解知识的主导者，教师应在每节课结束后带领学生进行总结归纳，引导学生将知识串联起来，从而加深学生对知识的记忆和理解.

数学思想方法的掌握同样离不开总结归纳，因此教师上完一节数学课后，应带领学生对所学知识所蕴含的数学思想方法进行总结归纳. 比如讲授完集合知识后，可以将数学思想方法与对应的集合题相结合，由此促进学生记忆，之后教师再对集合知识所蕴含的数学思想方法进行罗列与归纳，使学生在后续的解题过程中更加深刻地理解数学思想方法.

结论

新时代呼唤创新型人才，而创新型人才的培养离不开数学思想方法的帮助. 教师只有不断钻研教材，改善教学方法，以学生为主体，从学生的思维角度出发，才能有效帮助学生理解数学思想方法并学会在各领域中应用.

参考文献：

［1］ 杜红全. 晒晒集合中常用的数学思想［J］. 数理化解题研究，2021（22）：2-3.

［2］ 黄伟军，张勇平. 数学思想方法在集合问题中的应用［J］. 广东教育（高中版），2011（09）：20-22.

［3］ 张丽萍. 高中数学集合的教学现状及对策研究［D］. 曲阜师范大学，2020.

［4］ 陈丽华. 从数学知识到数学思想的实现途径——以“集合”知识的教学为例［J］. 数学大世界（上旬），2016（12）：11.