圆锥曲线的又一奇妙性质

李剖华

受文［1］启发，笔者最近探得了圆锥曲线的过顶点且互相垂直的两弦的一个统一性质，现以定理形式介绍如下：

定理1 如图1，设A1、A2分别是双曲线C：x2/a2－y2/b2=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，点M、N为双曲线C上不同于A1、A2的两点，且满足MA1⊥NA1，则（1）直线MA2与直线NA1的交点R在定直线l：x=a（b2－a2）/a2+b2上；

（2）若a≠b，则直线MN过定点Q（a（a2+b2）/b2－a2，0）；若a=b，则直线MN与x轴平行．

证明：（1）设M的坐标为（x0，y0），则直线MA1的斜率k1=y0/x0+a，∵MA1⊥NA1，∴直线NA1的斜率k2=－1/k1=－x0+a/y0.∴直线NA1的方程为y=－x0+a/y0（x+a）①，直線MA2的方程为y=y0/x0－a（x－a）②，联立①②消除y得－x0+a/y0（x+a）=y0/x0－a（x－a），化简、整理可得（1+x20－a2/y20）x=a（1－x20－a2/y20）③.∵点M（x0，y0）在双曲线C上，∴x20/a2－y20/b2=1，∴y20=b2/a2（x20－a2）④，将④代入③即得x=a（b2－a2）/a2+b2，即直线MA2与直线NA1的交点R在定直线l：x=a（b2－a2）/a2+b2上．

参考文献

［1］李康海．圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质［J］．数学通报，2001，7.

［2］张汉清．圆锥曲线的一个奇妙性质［J］．数学通报，2001，9.