边角关系共纠缠 基底法则来解难

何灯

试题呈现 已知点A（－1，0），B（3，0），P是圆O：x2+y2=45上的动点，则sin∠APB的最大值为（）.

A.3/3B.5/3C.3/4D.5/4

上述试题以圆为载体，考查三角形中的边角关系；考查推理论证能力、运算求解能力；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.由于P点位置的不确定，且所铺设的条件无法直接转化为∠APB，导致用正余弦定理求解本题较为困难.

借助于余弦定理及导数工具，有解答过程：

解析一：设P（m，n），则m2+n2=45，其中m，n∈［－35，35］.因为A（－1，0），B（3，0），所以AP=（m+1）2+n2=2m+46，PB=（m－3）2+n2=54－6m，由余弦定理得cos∠APB=PA2+PB2－AB2/2PA·PB=2m+46+54－6m－16/22m+46·54－6m=21－m/m+23·27－3m，因为m∈［－35，35］，所以cos∠APB>0，得sin∠APB=1－cos2∠APB=－4m2+180/－3m2－42m+621=23/3－m2+45/－m2－14m+207.记y=－m2+45/－m2－14m+207（m∈［－35，35］），则y′=2（m－21）（7m－15）/（－m2－14m+207）2，由y′>0得－35≤m<15/7，由y′<0得15/7

上述过程的求解思路较为自然：设点、求边、余弦定理求角、化sin∠APB为m的函数、求导寻最值，但整个过程运算量较为庞大，大部分同学无法顺利完成.本题是否有其他较为简洁的求解方法？

关注到题设已知“三角形一边及分线OP长”，待求另两边的“夹角”，联想到可以尝试通过向量“基底法则”来沟通已知量与待求量之间的内在联系.选定PA，PB为平面向量的基底，运用平面向量基本定理将分线所在向量OP用基底线性表示，进而通过平方获得命题条件与结论之间的关系，实现问题的求解.

解析二：显然，要使sin∠APB取最大值，点P不能在x轴上.

在△APB中，可得PO=PA+AO=PA+1/4AB=PA+1/4（PB－PA）=3/4PA+1/4PB，设|PB|=a，|PA|=b，则PO2=（3/4PA+1/4PB）2=9/16b2+1/16a2+3/16×2abcos∠APB=45.

由余弦定理得2abcos∠APB=b2+a2－16，则9/16b2+1/16a2+3/16（b2+a2－16）=45，化简得1/4b2+1/12a2=16，則cos∠APB=b2+a2－16/2ab=b2+a2－1/4b2－1/12a2/2ab=1/8（3b/a+11a/3b）.由基本不等式得cos∠APB≥1/8×23b/a×11a/3b=11/4（等号成立当且仅当3b/a=11a/3b且1/4b2+1/12a2=16，即a=1214/7，b=4154/7），从而sin∠APB=1－cos2∠APB≤1－（11/4）2=5/4，选D.

通过平面向量基本定理和基底法则，上述求解过程建立起分线长与三角形的边角之间的联系，进而借助余弦定理及基本不等式，实现了问题的轻松求解，体现了化归与转化思想、数形结合思想和方程思想在问题求解过程中的引领作用.类似于上述过程，还可实现试题结论的一般性拓展，此留给有兴趣的读者继续探究.