一道高三期中调研试题的多解探究

许培琳

1 原题呈现

已知a>0，b>0，且a+1/b=1，则b/a的最小值是 .

本题是连云港市2022-2023学年度第一学期高三数学期中调研题的第13题，题干短小精悍，解法灵活多样，值得深入探究.

2 解法探究

简析1：直接利用基本不等式a>0，b>0，a+b≥2ab进行求解.

解法1：因为a>0，b>0，有基本不等式1=a+1/b≥2a/b（当且仅当a=1/b即a=1/2，b=2時取等号）得a/b≤1/4，所以b/a≥4，所以b/a的最小值是4.

简析2：“1”的代换，利用基本不等式.

解法2：a>0，b>0，且a+1/b=1，所以b/a=b/a×（a+1/b）=b+1/a=（b+1/a）（a+1/b）

=ab+1/ab+2≥2+2=4，当且仅当ab=1即a=1/2，b=2时取等号，所以b/a的最小值是4.

简析3：减元，利用a表示b，转化成含a的二次函数，利用二次函数性质求最值.

解法3：因为a>0，b>0由a+1/b=1得b=1/1－a（0

简析4：代数换元，结合“1”的代换，利用基本不等式进行求解.

解法4：令a=x，1/b=y（x>0，y>0），由a+1/b=1得x+y=1，所以b/a=1/xy=x+y/xy=1/x+1/y=（1/x+1/y）（x+y）=y/x+x/y+2≥2+2=4，当且仅当x=y，即a=1/2，b=2时取等号，所以b/a的最小值是4.

简析5：三角换元，利用三角函数有界性求解.

解法5：令a=sin2α，1/b=cos2α，所以b=1/cos2α，所以b/a=1/sin2αcos2α=4/sin22α≥4，当且仅当sin22α=1，即a=1/2，b=2时取等号，所以b/a的最小值是4.

简析6：构造以d等差数列，转化成d的二次函数，利用二次函数求最值.

解法6：因为a>0，b>0由a+1/b=1=2×1/2得a，1/2，1/b成等差数列，设公差为d（－1/2

简析7：减元，利用b表示a，凑配b－1+1/b－1形式，再利用基本不等式求解.

解法7：因为a>0，b>0由a+1/b=1得a=1－1/b=b－1/b（b>1），所以b/a=b2/b－1=（b－1）2+2（b－1）+1/b－1=（b－1）+1/b－1+2≥2+2=4，当且仅当b－1=1/b－1时取等号即a=1/2，b=2.所以b/a的最小值是4.

简析8：巧妙构造定比，利用定比分点坐标公式结合基本不等式求解.

解法8：因为a>0，b>0，由a+1/b=1得0<1/b<1，00，则1/b=λ/1+λ，a=1/1+λ，所以b/a=（1+λ）2/λ=λ+1/λ+2≥2+2=4，当且仅当λ=1，即a=1/2，b=2时取等号，所以b/a的最小值是4.

3 变式训练

变式 （1）已知x>0，y>0，且x+4/y=8，则x/y的最大值为 ；

（2）已知a>0，b>0，且a+1/b=2，则4/a+b的最小值为；

（3）已知x>0，y>0，且1/x+1/y=1，则4x+2y+b/a的最小值为；

（4）已知负实数a，b，满足a+b=－2，则a－1/b的最小值为 .

4 结语

一道好的数学问题往往能够激发学生学生学习数学的热情和探究欲望，引导数学探究活动有效进行.而一道好的数学试题应具备“容易接受、一题多解、蕴含数学思想、不故意设陷阱、可推广和变式”等特征.上述解题中，解题方法灵活多样，不同层次的学生都能获得不同程度的知识建构机会，让他们感受到数学活动的快乐.