品味高考试题中平面向量的“交汇性”

杜晓霞　王勇

平面向量作为高中数学的重要内容，它不仅具有强大的工具性，还具有很强的交汇性.高考命题专家抓住向量的这些特性，将它与平面几何、三角、函数、逻辑用语、解析几何、不等式、立体几何等重要内容交汇，命制了众多好题，旨在考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.下面以近两年高考真题为例，探究和品味平面向量的“交汇性”.

1.与平面几何交汇

例1 （2022年浙江卷第17题）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上，则PA12+PA22+…+PA82的取值范围是.

解析：如图1，连接OP，OA2，OA6，则PA22+PA62=（OA2－OP）2+（OA6－OP）2，已知OA2与OA6反向共线，所以PA22+PA62=OA22－2OA2·OP+OP2+OA62－2OA6·OP+OP2=OA22－2OA2·OP+OP2+OA62+2OA2·OP+OP2=2OP2+2，同理得PA12+PA52=2OP2+2，PA42+PA82=2OP2+2，PA32+PA72=2OP2+2，所以PA12+PA22+…+PA82=8OP2+8，在ΔOA1A2中，易知1·cosπ/8≤OP≤1，注意到cosπ/4=2cos2π/8－1，所以cos2π/8=2+2/4，所以12+22≤8OP2+8≤16，所以PA12+PA22+…+PA82的取值范圍为12+22，16.

点评：本题以单位圆及其内接正八边形为载体，考查正八边形的性质、平面向量的加法运算及数量积运算，考查数形结合思想，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.

点评：本题是用平面向量“包装”的立体几何多选题，对平面向量和立体几何的相关知识考查充分，对考生的学科素养和关键能力要求极高，是一道难得的创新题.