基于直观想象探究一道切线问题

吴志湖

普通高中数学课程标准（2017版）指出，直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形状与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础.笔者基于直观想象视角，探究一道曲线的切线问题.

一、试题呈现

题目 （2022年武汉市高三年级九月调研考试第12题）已知函数f（x）=ex－1+lnx，则过点（a，b）恰能作曲线y=f（x）的两条切线的充分条件可以是（ ）.

A.b=2a－1>1B.b=2a－1<1

C.2a－1

本题主要考查导数的几何意义，函数与方程等知识，考查运算求解能力，推理论证能力，直观想象能力，考查化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想，导向对直观想象，逻辑推理等核心素养的关注.

二、解法探究

解法1：f′（x）=ex－1+1/x.设切点为（x0，ex0－1+lnx0），切线l的方程为y=（ex0－1+1/x0）（x－x0）+ex0－1+lnx0.

由已知有b=（ex0－1+1/x0）（a－x0）+ex0－1+lnx0=aex0－1+a/x0+（1－x0）ex0－1+lnx0－1.      故切线的条数等价于上述关于x0的方程解的个数.令g（x）=aex－1+a/x+（1－x）ex－1+lnx－1，则g′（x）=（a－x）（ex－1－1/x2），g′（1）=0，g（1）=2a－1.

当a≤0时，令g′（x）=0，得x=1.当00，g（x）递增；当x>1时，g′（x）>0，g（x）递减.又x→0时，y→－∞；x→+∞时，y→－∞.故当b=2a－1≤－1时，方程只有一解，切线只有一条.当b<2a－1≤－1时，方程有两解，切线有两条，故D正确.

当0

当a>1时，易得g（x）在（0，1），（a，+∞）上递减，在（1，a）上递增.又x→0时，y→+∞；x→+∞时，y→－∞.当b=2a－1>1时，方程有两解，切线有两条，故选项A正确；而当2a－1

综上，本题选AD.

解法2：f′（x）=ex－1+1/x，f（1）=1.因为f′（x）=ex－1+1/x>0，所以函数f（x）为增函数.又x→0时，y→－∞；x→+∞时，y→+∞.所以y轴为曲线的竖直渐近线.

又f″（x）=ex－1－1/x2在（0，+∞）上递增且f″（1）=0.当01时，f″（x）>0，函数为凸函数.点P（1，1）为曲线y=f（x）拐点，拐点处的切线方程为y=2x－1.做出图像，如图1所示：

由图1可知，对于选项A，此时点（a，b）在拐点处的切线上，且在拐点P的右上方，能做出两条切线，其中一条就是拐点处的切线.对于选项B，点（a，b）在拐点处的切线上，且在拐点P的左下方，但当点（a，b）在y轴的左侧时，注意到y轴是曲线的渐近线，此时只可作出一条切线.对于选项C，点（a，b）在拐点处的切线上方，又在函数图像下方，此时能做出3条切线.对于选项D，点（a，b）在拐点处切线下方，且在y轴的左侧（含y轴），此时能做出2条切线.故选AD.

点评：解法一通过定量计算，将切线条数转化为关于切点横坐标的方程解个数问题，最终解决问题.解法二通过定性分析，结合图像，直观解决问题.从解法二可知：过一点作曲线的切线，切线的条数问题与点在平面中所处的位置有关.结合函数的单调性和凹凸性，分析点与曲线、曲线拐点处的切线和曲线的渐进线的位置，我们便直观作出判断.基于直观想象，我们更容易窥得问题的本质，既可直观解决此类问题，还可洞悉作者的命题思路.

三、理解应用

曲线的切线问题是高考的重要考查内容，以下继续解析两道高考试题，进一步感悟此类问题的直观解法.

例1 （2021年全国新高考Ⅰ卷第7题）若过点a，b可以作曲线y=ex的两条切线，则（ ）.

A．eb

C．0

解析：函数y=ex是凸函数且x轴是曲线y=ex的切线.由函数图像（见图2）可知，只有点a，b在渐近线上方，且在图像下方，才可作出两条切线.故选D.

例2 （2022年全国新高考Ⅰ卷第15题）若曲线y=（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.

解析：由y′=（x+a+1）ex可知，函数y=（x+a）ex在（-∞，－a－1）上递减，在区间（－a－1，+∞）上递增.又x→－∞时，y→0，所以x轴是曲线y=（x+a）ex的渐近线.

由y″=（x+a+2）ex可知，函数为（-∞，－a－2）的凹函数，区间（－a－2，+∞）上的凸函数.点（-a－2，－2e－a－2）为曲线的拐点，曲线在拐点处的切线方程为y+2e－a－2=－e－a－2（x+a+2），可求得此切线与x轴交于点A－a－4，0.

又曲线y=（x+a）ex与x轴交于B－a，0.做出简图（见图3），结合图3可知：只有坐标原点O在A点左侧，或者在B点右侧，才可做出两条切线.

故－a－4>0或者－a<0，從而答案为a<－4或a>0..

四、试题命制

基于直观想象，我们可掌握此类试题的命题手法，进行试题命制.以下命制两道试题，供读者赏析.

试题1 若过点（1，0）可以作曲线y=ln（x+a）的两条切线，则实数a的取值范围是 .

解析：曲线y=ln（x+a）有渐近线x=－a，且与x轴交于点A（1－a，0）.结合图像（见图4）可知，点（1，0）应位于A与渐近线之间，故有－a<1<1－a，解得－1

试题2 已知函数f（x）=x+2/ex，则过点（a，b）至少能作曲线y=f（x）的两条切线的充分条件可以是（ ）.

A.b=2－a>2B.b=2－a<2

C.2－a

解析：f′（x）=－x－1/ex，f″（x）=x/ex.函数f（x）在（-∞，-1）上递增，在（-1，+∞）上递减，且点Q（0，2）为曲线y=f（x）的拐点.拐点处的切线方程为y=－x+2.结合图像（见图5）可得：对于选项A，点（a，b）在切线上，且在拐点Q的左上方，此时切线有2条，其中一条为拐点处的切线.对于选项B，点（a，b）在切线上，且在拐点Q的右下方，若它还位于x轴下方.此时只能作出一条切线，为拐点处的切线.对于选项C，点（a，b）在切线上方且在曲线下方，若点在第一象限，可作三条切线；若点在x轴或第四象限时，可作出两条切线.对于选项D，点（a，b）在切线下方且在曲线上方.若点在第二象限，可做出三条切线；若点在第四象限或x轴，可作出两条切线.综上，答案为ACD.