函数图象的应用举例

陈晓明

(安徽省宁国中学)

函数图象的应用很广泛,利用函数图象可研究函数的性质、解决方程和不等式的求解问题、求参数范围等,同时也体现了数形结合的思想.有时利用函数图象能够更便捷地解决问题.函数图象应用的考查在高考中占有重要地位,应引起师生重视.

【解析】如图1所示,函数f(x)的图象由三部分组成(特别要注意中间部分图象是一个“点”,坐标为(0,0)).因为函数y=f(x)为偶函数,所以整个函数图象关于y轴对称.当c=0时,方程有三个不同的实数解,当c≠0时,方程有两个不同的实数解.

图1

【设计意图】利用翻折变换画出函数的大致图象,利用函数图象解决方程中解的个数问题:所求方程f(x)=c解的个数,即函数y=f(x)与y=c图象交点的个数.

【解析】如图2所示,函数f(x)的图象由三部分组成(特别要注意中间部分图象是一个“点”,坐标为(1,0)),整个函数图象关于直线x=1对称.答案与例1相同,即当c=0时,方程有三个不同的实数解,当c≠0时,方程有两个不同的实数解.

图2

【设计意图】利用平移变换得到函数图象,同时将问题由简单变得稍有复杂,让学生学会将问题拓展延伸.

【解析】如图3所示,函数f(x)的图象同样由三部分组成(特别要注意中间部分图象是一个“点”,坐标为(1,0)),整个函数图象关于直线x=1对称,只不过形状有所变化,因此引起答案变化:当c<0时,方程没有实数解;当c=0时,方程有三个不同的实数解,当c>0时,方程有四个不同的实数解.

图3

【设计意图】再次利用翻折变换得到函数图象,问题逐步变得复杂,充分显示图象魅力,提升学生变式能力,体会数形结合的思想,渗透了分类讨论的思想.

【解析】由f2(x)-f(x)=0得f(x)=1或f(x)=0,如图3所示,方程f(x)=1有4个解,方程f(x)=0有3个解,所以原方程有7个不同的实数解.

【设计意图】此变式让学生进一步体会数形结合和分类讨论的思想方法,前面是对条件(函数解析式)变式,这里是对求解问题进行变式,充分利用函数图象解决问题.让学生学会探究数学问题的方法,能对一个问题进行举一反三,触类旁通的研究,避免搞题海战术,提升解题能力,减轻学生学习数学的负担!

A.b<0且c>0 B.b>0且c<0

C.b<0且c=0 D.b≥0且c=0

【解析】如图3所示,只要方程f2(x)+bf(x)+c=0中能解出f(x)的两个值,其中一个值等于0(可得c=0),另一个值大于0(f2(x)+bf(x)=0可得b=-f(x)<0),故选C.

【设计意图】此解析使用了换元法的思想,得出方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是关于t的二次方程t2+bt+c=0有两个不等的实根,其中一根为0(可得c=0),另一根为正数(t2+bt=0,可得b=-t<0).这样就自然地将复杂问题化为我们熟悉的简单问题.另外,变式3是变式4的特例(b=-1,c=0),通过对这一特例的研究悟出变式4的求解方法,自然渗透换元法、由特殊到一般的思想方法.这样处理,突出了变式4的本质,其解答也就水到渠成.同时又让不同层次的学生都能得到相应发展,充分体现了以学生为本的人文精神.

【例2】已知函数f(x)=|3x-2|-|2x-3|,若关于x的不等式f(x)<2a2+a恰有3个整数解,求实数a的取值范围.

图4

【变式1】若关于x的不等式f(x)<2a2+a恰没有整数解,其余条件不变,情况怎样?

【变式2】若关于x的不等式f(x)<2a2+a恰有1个整数解,其余条件不变,情况怎样?

【变式3】若关于x的不等式f(x)<2a2+a恰有4个整数解,其余条件不变,情况怎样?

【变式4】若关于x的不等式f(x)<2a2+a恰有5个整数解,其余条件不变,情况怎样?

(提示:如图4所示,变式1:2a2+a≤-1;变式2:-1<2a2+a≤0;变式3:1<2a2+a≤2;变式4:2<2a2+a≤3)

【设计意图】“数缺形时少直观,形少数时难入微”是我国著名数学家华罗庚先生对数形结合思想的精辟论述.上述变式题通过函数图象一目了然,否则很难说清楚.因此,本例及其变式让学生进一步体会利用函数图象解决问题的优越性.另外,我们可继续通过计算函数值,进一步增大整数解的个数,但因为f(-4)=f(2)=3,如图4所示,所以接下来可能有7个整数解,而没有6个整数解的可能.

图5

【解析】如图5所示,当m=0或者m=1时,关于x的方程f(x)=m(m∈R)有三个不同的实数解x1,x2,x3.当m=0时,三个实数解分别为-2,0,1,所以x1x2x3=0.当m=1时,三个实数解分别为-1,x2,x3,且x2x3=1,所以x1x2x3=-1.因此,本题正确答案为0或-1.

【设计意图】通过变式,进一步体现数形结合的思想,培养学生对问题举一反三、触类旁通的能力,增强学生对知识完整性的认知,激发学生学习数学的兴趣.

图6

【设计意图】本题是一道关于复合函数的题目,熟练掌握函数图象的作法及函数的零点与函数图象交点的关系是解答此题的关键.对于一般的复合函数(嵌套函数)“y=g(f(x))”的零点问题,其解题步骤是:(1)换元解套,令t=f(x),则y=g(t),从而将一个复合函数的零点问题拆解为两个相对简单的函数t=f(x)和y=g(t)的零点问题.(2)依次解方程,令g(t)=0解出t的值,然后代入t=f(x)中解出x的值.而由含参嵌套函数方程引起的参数范围问题,在上述解题要诀的基础上,让含参的值动起来,动静结合、数形结合、抓临界位置进行求解.

结束语

问题,是驱动学生思维的源泉!在数学教学中,好的问题,可以启动学生的思维、形成有效的数学探究活动.因此,例1设置了具有一定梯度,同时又能启迪学生思维,层层递进,发现问题本质的问题串,让学生充分思考,积极探究!其他三道例题同样对问题进行了变式探究,加强知识的整体性,将知识网络化,增强知识的系统性,便于学生掌握一类问题的数学本质.

解题,需要研究.通过解题研究挖掘题目背后蕴藏的数学观点、数学思想,透过现象认识本质.解题研究既是高中数学教师必备素养与能力,也是教学研究的重要组成部分.解题研究的最终目的是为了学生的学习,帮助学生走出题海,提高效率,减轻学生负担.