在问题解决中发展模型意识

臧楠楠

摘 要：《常见的数量关系》一课，是小学阶段数量关系教学的“种子课”——是在学生理解了乘法意义和加法模型，积累了大量相关的感性认识和生活经验的基础上教学的，要为后续学习复杂的行程问题和数量关系以及正、反比例的数学表达打下坚实的基础。因此，本节课教学，厘清数量关系是基础，回归问题解决是手段，发展模型意识是核心。

关键词：小学教学；数量关系；模型意识；问题解决

一、教学背景

苏教版小学数学四年级下册《三位数乘两位数》单元《常见的数量关系》一课，是小学阶段数量关系教学的“种子课”——是在学生理解了乘法意义和加法模型，积累了大量相关的感性认识和生活经验的基础上教学的，要为后续学习复杂的行程问题和数量关系以及正、反比例的数学表达打下坚实的基础。

本节课的教学内容是在具体情境中认识“总价=单价×数量”“路程=速度×时间”这两个常见的数量关系，并能运用这两个数量关系解决简单的实际问题。本节课教学，看似简单，实则不易。其一，一些教师让学生过多、过碎地去记忆数量关系，没有厘清数量关系之间的“关系”，更没有渗透模型意识。其二，教学的数量关系与解决实际问题严重脱节，一度出现学生会说、会填却不会用的场景，忽视了学生应用意识和解决问题能力的培養；最后，教学中“重知识，轻方法”的现象尤为突出，不利于学生掌握数量关系的一般研究方法。笔者以为，本节课教学，厘清数量关系是基础，回归问题解决是手段，发展模型意识是核心。

二、教学过程

（一）在对比中厘清数量关系

师 （出示苏炳添奥运会百米跑成绩9秒83的海报图片）同学们，认识他吗？图中隐藏着什么信息？

生 苏炳添跑100米用了9秒83。

生 苏炳添跑100米的路程用了9秒83的时间，速度很快！

师 对这位同学提到的路程、时间、速度这三个词，你们有什么想问的吗？

生 什么是速度？

生 我会比快慢，为什么还要学速度？

生 三者是什么关系？

生 速度怎么写？

师 就让我们带着这些有价值的问题开始今天这节课吧。你们会比快慢吗？（出示图1）猴子和松鼠谁快？为什么？松鼠和小兔谁快？

生 松鼠比猴子快。因为它们走的时间一样，松鼠走得更远，所以松鼠快。

生 松鼠也比小兔快。因为它们走的路程一样，松鼠用的时间更少，所以松鼠快。

师 （出示图2）时间相同比路程，路程相同比时间，这确实是常用的比快慢的方法。但这两种比快慢的方法，都是在特殊情况下使用的，一般情况是路程不同，时间也不同，（出示表1）松鼠和小猫谁快呢？

（学生汇报交流，教师总结，得到图3。）

师 一下子想出了这么多方法，同学们真厉害！对比一下这些方法，它们有什么联系呢？

生 ①、②两种方法都是把时间转化成1分钟，一个是列式，一个是画图，本质是一样的；③、④两种方法分别把时间转化成3分钟和6分钟。几种方法都是转化成相同时间比路程。

师 为什么不选择相同路程比时间呢？

生 麻烦。

生 相同路程比时间，时间越长，速度越慢，得“反”过来思考。

师 转化成相同时间比路程，你更喜欢转化成几分钟？

生 1分钟，这样更简单。

师 同学们，（出示图4）又来了两位动物比快慢。

（学生小声嘀咕，觉得教师写错了。）

师 （课件补上时间）现在补上时间呢？你有什么想说的？

生 比快慢，与路程和时间两个量都有关，缺一不可。

师 刚刚我们都是结合路程和时间两个量来比快慢，它们有什么相同点？

生 都是转换成相同时间比路程，最好是1分钟。

师 单位时间（1分钟、1小时、1秒）里所走的路程叫作速度，也就是：路程÷时间=速度。根据这个数量关系式，还可以推出其他的数量关系式吗？

生 速度×时间=路程。

生 路程÷速度=时间。

师 学会了速度的数量关系式，小青却发现了一个神奇的现象，（出示图5）小青的速度和飞船的速度都是8千米，你同意吗？你有什么好办法？

（1）“神舟七号”飞船在太空中5秒飞行了约40千米，它每秒飞了约（  ）。

40÷5=8（千米）

（2）小青骑自行车，2小时骑了16千米，他每小时骑了（  ）。

16÷2=8（千米）

生 不同意。它们虽然都是8千米，但时间不一样，一个是1秒，一个是1小时。要把它们转换成相同的时间。

师 （板书：千米/秒，千米/小时）数学上，我们把这样的单位叫作复名数单位，斜杠表示“每”和“1”的意思，读作千米每秒、千米每小时。那你觉得速度的单位好在哪里？

生 速度的单位可以体现速度与路程、时间两个量都有关系。

生 速度的单位能看出速度的求法是路程÷时间。

生 “千米/秒”这样的单位读起来能让人感受到快慢：嘀嗒1秒，飞船就飞出去8千米，实在是太快了！

（二）在解决问题中迁移应用

1.解决生活中的路程问题

师 同学们，（出示表2）这是南京到青岛不同年份的列车速度表，这里的空你会填吗？根据什么数量关系？

（指名学生口述填空。）

师 南京到北京大约1000千米，按照300千米/小时的速度，乘坐高铁3.5小时一定能到达北京吗？

生 能。

生 不一定能。因为300千米/小时是高铁运行的平均速度，还要考虑停靠站的时间，要联系实际想问题。

师 观察表格，你有什么发现？

生 路程相同，速度越快，时间越短；速度越慢，时间越长。

师 感受了现代技术的提升，我们再来感受一下古诗词文化吧。（出示古诗《早发白帝城》）这首诗中提到的“千里江陵一日还”是真的吗？李白是否采用了夸张的手法？提示：古时候的1千里=500千米。

生 1千里=500千米，一日=24小时，船的速度=500÷24

≈21（千米/小时），这在当时是可以实现的，并不夸张，所以是真的。

师 那如果李白生活在现代，改乘飞机，飞机的速度是800千米/小时，你觉得这首诗可以怎么改？

生 千里江陵一时还。

（学生哈哈大笑。）

2.自主学习价格的数量关系

师 生活中还有一组常见的量：单价、数量、总价。它们的数量关系，老师想留给你们自己研究，请四人一组商讨一下研究提纲。

（学生自主确立研究提纲，研究数量关系，证明数量关系，自主推导其他数量关系。）

师 我们一起来回顾一下两个数量关系的研究历程。（出示图6）我们都是先列表发现数量关系，然后数形结合体会数量关系，最后应用数量关系解决问题。

（三）在梳理中建立数学模型

师 （出示图7）请同学们利用这个线段图，结合一天的学校生活创编情境。

（教师汇总学生回答。）

师 如果用一道数量关系式概括所有，你会吗？

（学生讨论，总结得出“总数=每份数×份数”。）

师 总数=每份数×份数，其实就是二年级学的几个几相加。那么，今天推导出来的其他数量关系式又有什么关联呢？你能用学过的知识概括吗？

（学生交流，教师总结，出示图8。）

师 是的呀，每份数=总数÷份数，份数=总数÷每份数，其实就是两种平均分。希望同学们以后也能像今天这样用联系的眼光看问题。

三、教学反思

（一）厘清数量关系是基础

《常见的数量关系》一课，教学重点是对“关系”的理解和把握。我们既要厘清数量关系内部各个量之间的关系，也要厘清多个数量关系之间的关系，同时要厘清数量关系与乘法意义的关系，甚至还要厘清“衍生”的数量关系与除法平均分的关系。

本节课，教师巧妙地利用乌龟和猎豹比快慢，让学生在质疑的过程中强烈地感受到速度与路程和时间两个量都有关系。教师还利用小青和飞船比速度的活动，让学生自然产生使用一个新（统一）单位的强烈需求。这样一个表示速度的复合单位，不是以告知的方式强迫学生接受，而是在交流中顺势生成的，并且让学生充分体会到它的作用。如此，学生深化了对速度概念内涵的理解，厘清了数量关系内部各个量之间的关系。教师又联系生活实际，以青岛与南京之间的列车速度为素材创设问题情境，帮助学生灵活运用不同的数量关系解决实际问题，厘清多个数量关系之间的关系。最后，让学生结合一天的学习生活创编情境，厘清多个数量关系与乘法和除法的关系。这样的教学，引导学生内化并彻底厘清了所学的数量关系。

（二）回归问题解决是手段

数学知识从问题解决中来，还应该回归到问题解决中去。只有在解決实际问题中才能彰显数学知识的生命力，这就好比在游泳中学游泳。

本节课，在学生掌握了“路程÷时间=速度”以及衍生出的两个数量关系式“速度×时间=路程”“路程÷速度=时间”后，教师选用了两组具有现实意义的素材。以青岛与南京之间的列车速度为素材创设问题情境，让学生反复运用不同的数量关系来解答，不断加深对三个数量内部之间关系的理解，初步感受从变化的角度去分析数量关系，体会到数量之间总是相互依存、相互影响的，其中存在一个变量，就会导致另外一个量同时发生变化。这样的教学设计，体现了数学知识发生发展的内在逻辑，使学生体会到了用数量关系解决实际问题的便捷性。又引用李白的诗《早发白帝城》并提出质疑，让学生自主选择合适的数量关系式来判断，于发展推理意识的同时锻炼了估算能力。这样学科融合的题型一下子就抓住了学生的眼球，让数量关系在应用中自然娴熟。当追问如果李白生活在现代改乘飞机，古诗该如何改编时，学生的情感体验达到了峰值。原来，应用数量关系还能够创编古诗，这不正是在用数学语言表达现实世界吗？

（三）发展模型意识是核心

模型意识分为建模和用模两方面。数学建模是数学学习的一种方式，更是一种过程。它需要经历对原始问题分析、假设、抽象的数学加工过程，同时要经历选择数学工具、方法和模型的过程，最后还要经历模型求解、模型验证和模型再分析、再求解的迭代过程。

本节课正是让学生完整经历了这样一个数学建模的过程。首先，从原始问题“比快慢”入手，回顾“相同时间比路程和相同路程比时间”两种方法，进而产生一般情况下如何比快慢的疑惑，学生通过列表、画图等策略总结出数量关系。接着，基于线段图，结合一天的学习生活创编情境，学生直观地感受到除了“速度×时间=路程”“单价×数量=总价”两组数量关系，还有多种多样的数量关系。学生不难发现常见的数量关系之间有着一定的内在联系。然后，进一步抽象，将“衍生”的数量关系和两种平均分紧密勾连。这样的学习历程，让学生不仅得到了知识层面的提升，还获得了方法层面的进步，使其以后在自主研究问题时，能够复刻出这样的“微科研”过程。从原始问题出发，采取已有的解决问题的策略对问题进行加工，用联系的眼光去看问题，寻求合适的模型，并对所要建构的模型进行验证分析，甚至是解构和重构，这能让学生在培养抽象概括能力的同时，塑造理性精神，发展模型意识。