职教高考数列综合应用题解题策略探究

摘 要：数列的综合应用是职教数学高考中的重点内容，主要考查考生对数列基本概念的掌握和運用情况.本文结合实际例题对职教高考数学中数列综合应用问题解题的思路进行分析和探究，旨在指导数学教师开展教学，为学生优化解题思路提供借鉴.

关键词：职教高考；数列；解题思路

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2023）21-0014-03

收稿日期：2023-04-25

作者简介：邱婷婷（1987.7-），女，江苏省盐城人，研究生，讲师，从事高中数学教学研究.

职教高考是国家为中专专门设计的一条升学路径，数学学科是其中一门重要的考试科目，而数列综合应用问题则是数学职教高考中的重点，同时也是难点之一.由于数列综合应用问题的解题过程较为繁琐，对解题步骤要求也较为严格，所以一旦出现误差将会影响整体答案的准确性.为了职校生能够取得良好成绩，相关教师应当传授职校生科学的解题思路和方法，强调全面掌握基础知识和概念，并整理同类题型，多加练习，总结做题技巧，深入分析题目，确定解题关键信息，再对解题步骤进行精简，从而提高答题效率.

1 灵活运用数列知识基础概念

基于以往的职教高考实践经验，多数职校生将数列综合应用问题视为难点，主要原因是学生对于数列概念的理解不深刻，即在学习过程中不注重理解，采用死记硬背的方式进行学习，导致在考试时难以进行准确解答［1］.所以数学教师在进行数列综合应用问题教学时，应当注重引导学生正确理解知识概念，再指导学生学习解题应用.比如教师可从相对简单的题目入手，遵从循序渐进的原则，促使学生深入理解基础知识概念，学会使用定义法解题［2］.比如给定an+1=an+d或an+1=qann∈N+条件，则满足等差数列或等比数列的定义，再根据定义得到公差或公比，然后寻找首项.教师应当注重引导学生完善自身的知识网络和体系，可通过思维导图的方式对数列综合应用问题的相关知识点进行整理，加强知识点间的联系，便于学生在阅读题目后，能够快速判断所需使用的知识点，通过概念理解获得解题思路.例题如下：

例1 已知数列an满足，an+1=an+2n∈N+，且a1=1.

（1）求数列an的通项公式及前n项和Sn；

（2）假设bn=2an，求数列bn的前n项和Tn.

通读题目，可运用定义法进行解题，即使利用等差数列和等比数列的定义、通项公式等，再确定首项，解题步骤如下：

解 （1）因an+1=an+2，则an+1-an=2，

所以数列an是首项为1，公差为2的等差数列，

可得an=2n-1，Sn=n（1+2n-1）2=n2.（2）因bn=2an=22n-1=2×4n-1，

又因数列bn是以2为首项，以4为公比的等比数列，

所以：Tn=234n-1.

在解题时，教师要先引导学生熟悉教材中的基本知识概念，从定义入手.如在教学中，根据教材内容，解决较为简单的数列问题，内化总结数列的定义，再列举相同的数字组，了解和掌握有穷数列、无穷数列等.然后通过列举掌握等差数列与等比数列，深刻理解其含义［3］.

2 整理同类型题掌握解题思路

在数学职教高考中，很多同类型题的解题思路是相同的，尤其是数列综合应用问题.所以教师要引导学生在日常学习过程中，对同类型题进行整理和归纳，有助于总结解题思路，从而能够快速运用到同类型题解答中［4］.在整理时，应当注重对比归纳同类型题的相同点和不同点，便于在后续解题过程中灵活运用，养成自主学习、主动整理归纳等习惯.比如可指导学生建立错题集，将容易出错的同类型题归集在一块，对比分析解答思路，有助于提升答题效率.

因此，教师应当引导学生按照教材知识内容并结合近年来数学职教高考常见题型等进行相同题型整理，适当对现有例题进行拓展，以便学生掌握更完善的解题思路.比如在学习等差数列时，在做题过程中强调归纳相同类型的题目，如等差数列求和或求等差数列某一项等，探索问题规律和解题思路，运用等差数列求和公式进行计算.

例2 已知数列an的首项a1=a（a为常数），an=2an-1+n2-4n+2n∈N且n≥2.

（1）数列an是否可能是等差数列？若可能，求出an的通项公式，若不可能，说明理由.

（2）设在数列bn中，有b1=b，bn=an+n2n∈N且n≥2，Sn是数列bn的前n项和，且Sn是等比数列，求实数a，b满足的条件.

解 （1）因a1=a（a为常数），an=2an-1+n2-4n+2n∈N且n≥2，得a2=2a-2，a3=4a-5，a4=8a-8.若an是等差数列，则a3-a2=a2-a1，得a=1，但由a3-a2=a4-a3，得a=0，矛盾．

所以an不可能是等差数列．

（2）因为bn=an+n2，所以bn+1=2bnn∈N且n≥2．

所以bn=a+12n-1n∈N且n≥2．当a≠-1时，bn≠0，因此bn从第2项起是以2为公比的等比数列．

所以Sn=b1+2a+22n-1-12-1=a+12n+b-2a-2，

当n≥2时，SnSn-1=2-b-2a-2（a+1）2n-1+b-2a-2，Sn是等比数列，因为a≠-1，所以b-2a-2=0.

当a=-1时，b2=0，由bn=2bn-1（n≥3），得bn=0（n≥2），

又因为Sn是等比数列，所以b≠0，

综上，数列Sn是等比数列，实数a，b所满足的条件为或a≠-1b=2a+2或a=-1b≠0.

在解题中，为证明一个数列是等差数列或者等比数列，则需要证明任意的连续的三项中，后一项与前一项的差或比值相等即可.一方面，将类似题目进行整理归纳，能够加深学生对等差数列以及等比数列的理解，有利于提高解题效率和准确性；另外一方面，通过对相同类型试题进行归纳总结，有助于有效应对职教高考中出现的各种数列综合应用问题，在阅读试题后能够快速明确解答思路，进而书写正确的解题步骤［5］.

3 明确题目重点寻找解题线索

在对数列综合应用问题进行解答时，应当注重勾画题目重点内容，根据题意中所给出的条件，寻找解题线索［6］.很多时候学生在解题时会忽视一些线索，导致解题较为困难，影响解题效率.所以教师应当传授学生正确读题的方法，在理解概念的前提下，快速提取题干中的关键线索，对试题进行合理解答.

例3 设一个等差数列的项数为偶数，其奇数和为24，偶数项和为30，且最后一项比第一项大10.5，则最后一项是_______.

先对题目进行阅读和理解，先确定该数列为等差数列，再根据题目所给信息得到S奇=24，S偶=30，设这个数列一共2n项，那么a2n-a1=10.5，将所有条件列出后，再进行解答，假设公差为d，项数为2n，则S偶-S奇=30-24=6=nd，首尾项之差为10.5=2n-1d，联立两个方程，可得到项数为8.通过对题目条件的总结，能够更为清晰的确定使用哪个知识点，确定解题思路，有利于提升解题效率.

除此之外，部分职教高考数学试题中，题目中并没有直接明确数列是等差数列还是等比数列，因此，学生应当合理运用自身所学的知识，正确判断题目信息，并清明确该种的数列的性质，然后总结题目条件，这不仅有利于形成正确的解题思路，而且还会有效降低错题概率［7］.

4 围绕题目内容精简解题步骤

解答数列知识背景的综合应用试题时，往往伴随着较为复杂的解题步骤，很多时候会导致卷面不够整洁，再检查时也会出现一定困难，影响卷面美观.所以为保证职教高考卷面整洁，答案清晰，应当注重围绕题目内容，对解题步骤尽可能精简，省略不必要的步骤，呈现关键步骤和正确答案，这有利于梳理解题步骤，便于开展检查［8］.如果学生没有紧扣题目，盲目按照题目顺序进行运算，则会导致错误几率增加.

例4 设数列an，满足a1，a2，a3为等比数列且a1+a2+a3=19，a2，a3，a4为等差数列，a2+a3+a4=12，求此4个数.

针对这一题目，学生可按照已知条件，列出a2a1=a3a2，且a1+a2+a3=19，a3-a2=a4-a3，a2+a3+a4=12从中可得到a3=4，然后代入到两个式子中，可得a2=6，再进行计算，得到a1=9，a4=2.从该解题步骤中，呈现了逻辑清晰合理的运算步骤.如单纯按照题目顺序开展运算，则无法获得a2值，影响后续运算结算.所以在解题过程中，通过精简答题步骤、省略不必要的运算过程和思考，能够快速获得答案，有利于开展检查，确保答题正确率［9］.同时在一个题目下，运用前面获得的答案，解答后续问题，即可省略一部分运算过程，保证解题步骤简略、清晰.特别是针对选择题、填空题等题型，通过精简运算过程能够快速获取答案，以此节省答题时间.对于应用题型，则是尽可能呈现重要步骤，避免解题过程繁冗，保证解题过程顺畅、逻辑明确，便于阅卷教师能够直接看到正确答案［10］.

参考文献：

［1］ 王生林.多角度审视 多途径解题：例谈一道高考数列题的九种解法［J］.理科考试研究，2020，27（15）：2-5.

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［4］ 金友良.浙江省专升本高等数学考试应用题分析初探［J］.科技资讯，2020，18（9）：203-204.

［5］ 牛铭，谢旭华.高职院校工程数学课程改革实证研究［J］.石家庄职业技术学院学报，2020，32（4）：66-69.

［6］ 杨雄，蔡剑.自主学习能力培养及其对教学效果影响探析：以高职高等数学教学为例［J］.遵义师范学院学报，2020，22（4）：109-111，115.

［7］ 李志海.基于高職数学培养学生专业创新能力［J］.牡丹江大学学报，2019，28（9）：118-120.

［8］ 王雅萍.浅析不定积分中的一题多解［J］.浙江水利水电学院学报，2019，31（5）：87-90.

［9］ 周小琴，王艳蓉.高职数学教学中的数学文化渗透探究［J］.数码设计（上），2021，10（5）：309-310.

［10］ 刘兰梅.高职数学教学现状及优化改革研究［J］.创新创业理论研究与实践，2021，4（21）：19-21.

［责任编辑：李 璟］