分析思路起点 点亮几何明灯——以一次单元评价测试试题为例

桂小兵

(合肥八中教育集团铭传高级中学,安徽 合肥 231200)

在一次单元评价测试中有两个题目,学生的思路多样.有的可以捕捉到初中平面几何解法的影子,有的是利用高中阶段所学向量、函数知识来解决问题,对比这些思路和解法,笔者认为初、高中思维的出发点有些不同,基于这点,在试题评析过程中,通过变式、设问、对比,帮助学生体会不同解法的优势与弊端,更加透彻地理解此类问题求解方法的本质,逐步渗透高中阶段所需具备的向量的基底思想、函数思想,实现思维素养的提升.

图1 试题1图 图2 试题1解析图

学生将思路1略作修改,得出方案1,如图3,辅助线作法同思路1.

图3 追问1图

在△ACM中利用余弦定理求解CM,在△ACM中利用等面积法求解AQ,再利用CM上点P位置求解PQ,最后在Rt△APQ中利用勾股定理求解AP.

(也有一部分同学给出不求AQ的算法:△ACM中利用余弦定理求解∠ACM,再利用余弦定理求解AP,但运算量较大.)

图4 追问2图

学生在方案1的基础上,给出方案2:

由于△ABC的形状发生了改变,但相似比未变,所以点P在MC上的相对位置没有变化.可以先在△ABC中求解∠A的三角函数值,后续思路同思路1,但是学生都给出一个感受,解题中出现了纷繁错杂的解三角形,边角求解交替,让运算过程越来越臃肿,运算量较大.

追问3这种基底思路能否解决前面的追问1和追问2呢?

对于追问1,学生在思路2的基础上,给出方案3:

对于追问2,学生在方案3的基础上,给出方案4:

图5 试题2图

(1)用α表示OA和OB;

(2)求△AOB面积S的最大值.

学生思路1在阅卷时发现有学生没有解第一问,而是直接求解了第二问.

图6 试题2解析图

又PA+PB=2m+2n=10,所以m+n=5.

S是关于OA的一个一元二次函数,可求最值.

学生思路2用角度α,结合正、余弦定理表示其他角度、边元素.

又AP+BP=(1+tanα)·BP=10,

追问线段OP的最小值能否求解?

学生在思路1基础上,给出方案:

学生在思路2基础上,给出方案: