空间垂角坐标系的创立与论证

陆晔鸣

(湖南省新化县第四中学,湖南 武汉 417607)

从书本中我们得知,空间直角坐标系的定义是首先要在空间中设立一个原点,然后过原点画出三条两两互相垂直的直线,每条直线选定一个方向作为正方向,三条直线就变成了可以标注数值的坐标轴,由此空间中任意一点,都可以通过投影的方式,变成具体的数值来固定方位和距离,一个原点与三条坐标轴便组成了我们熟知的空间直角坐标系[1](如图1).

图1 空间直角坐标系

而本文首次提出空间垂角坐标系,是为打破传统空间直角坐标系建立之方法,却依然能够实现空间直角坐标系的所有功用,并将空间直角坐标系作为一种特殊形态纳入其中.本文通过递进式提出观点,并加以论证,最终完成空间垂角坐标系的创立.

1 空间垂角坐标系的提出

1.1 提出的第一个观点

在空间直角坐标系Oxyz中,x轴和y轴保持不动的情况下,z轴只需要保持与平面xOy垂直且z轴O点(Oz)始终在x轴或y轴上[z⊥平面xOy∩(Oz∈y∪Oz∈x)],z轴就可以在该空间随意移动,对数学运算没有任何影响.

论证过程:此观点可以通过投影予以证明,所有移动后的z轴,都能原封不动地投影到原来的z轴上.因此,我们得到了空间直角坐标系的第一个变种Oxyz′(如图2),此时的Z轴点O(Oz)为原点O的分身.

图2 空间直角坐标系变种Oxyz′

1.2 提出的第二个观点

在空间直角坐标系Oxyz中,y轴保持不动的情况下,x轴和z轴只需要保持x轴与平面yOz垂直且x轴点O始终在y轴上、z轴与平面xOy垂直且z轴O点始终在y轴上[(x⊥平面yOz∩Ox∈y)∩(z⊥平面xOy∩Oz∈y)],x轴和z轴就可以在该空间随意移动,对数学运算依然没有任何影响.

论证过程:此观点同样可以通过投影予以证明,所有移动后的x轴和z轴,都能原封不动地投影到原来的x轴和z轴上.此时的空间直角坐标系Ox′yz′在样式上与第一个变种区别不大(如图3),x轴O点(Ox)、z轴点O(Oz)均为原点(O)的分身.

图3 空间直角坐标系变种Ox′yz′

1.3 提出的第三个观点

在空间直角坐标系Oxyz中,z轴只需要保持与平面xOy垂直且z轴点O(Oz)始终在平面xOy上(z⊥平面xOy∩Oz∈平面xOy),z轴就可以在该空间随意移动,对数学运算没有任何影响.

论证过程:此观点还是可以通过投影予以证明,所有移动后的z轴,都能原封不动地投影到原来的z轴上.因此,我们得到了空间直角坐标系的第二个变种Oxyz″(如图4).

图4 空间直角坐标系变种Oxyz″

1.4 提出空间垂角坐标系猜想

有了前两个空间直角坐标系的变种作为参考,我们大胆提出第三个变种的猜想,即空间垂角坐标系猜想.所谓的空间垂角坐标系,就是指在空间中取三条两两互相垂直的直线作为坐标轴,每条坐标轴各自任意选定一个点作为原点,各自选定一个方向作为正方向,由此组成的坐标系即为空间垂角坐标系(如图5).

图5 空间垂角坐标系猜想图

2 空间垂角坐标系的论证过程

根据空间垂角坐标系猜想,现需要对空间垂角坐标系是否可以转化为一个完整的空间直角坐标系进行论证,论证过程如下:

设空间中两两互相垂直的坐标轴分别为x,y,z,每条坐标轴的原点分别为Ox,Oy,Oz,建立空间垂角坐标系(如图6).

图6 空间垂角坐标系

从设定条件中已知:x⊥y,y⊥z,z⊥x.

过点Ox作一个与x轴垂直的平面,设为平面a;

过点Oy作一个与y轴垂直的平面,设为平面b;

过点Oz作一个与z轴垂直的平面,设为平面c,

所以x⊥平面a,y⊥平面b,z⊥平面c.

此时,平面a中的任意一点在x轴上的坐标值均为0;平面b中的任意一点,在y轴上的坐标值均为0;平面c中的任意一点在z轴上的坐标值均为0.

因为x⊥平面a,x⊥y,x⊥z,

所以y∥平面a或y⊂平面a;

z∥平面a或z⊂平面a.

又因为y∥平面a或y⊂平面a,y⊥平面b,

所以平面a⊥平面b.

又因为z∥平面a或z⊂平面a,z⊥平面c,

所以平面a⊥平面c.

因为y⊥平面b,y⊥z,

所以z∥平面b或z⊂平面b.

又因为z∥平面b或z⊂平面b,z⊥平面c,

所以平面b⊥平面c.

综上,平面a⊥平面b,平面a⊥平面c,平面b⊥平面c,故平面a、平面b、平面c两两互相垂直.

两两互相垂直的三个平面,有且仅有一个公共点,该公共点既属于平面a,也属于平面b和平面c,所以该公共点的坐标值为(0,0,0),即我们通常所理解的坐标系原点.由此得出,任意一个空间垂角坐标系,它都能够以过坐标轴原点作垂直平面的方式找到坐标值为(0,0,0)的坐标系原点.三条坐标轴均可按各自坐标轴原点到公共点(坐标系原点)的方向和距离进行平移,进而得到一个完整的空间直角坐标系.此时,反观三个坐标轴原点,均为坐标系原点的分身.

空间直角坐标系及其两个变种Oxyz′,Oxyz″的建立,都符合空间垂角坐标系的定义,而空间直角坐标系的定义,无法涵盖空间垂角坐标系.由此看来,与其说空间垂角坐标系是空间直角坐标系的第三个变种,不如说空间直角坐标系及其变种,都是空间垂角坐标系的特殊形态,即坐标轴原点重合时的特殊形态.二者之间最大的区别在于,空间垂角坐标系考虑的首要因素是三条坐标轴的空间垂直关系,摒弃了必须先设立坐标系原点的传统观念.熟练掌握空间垂角坐标系,对学生理解空间中的线线、线面、面面关系,解决复杂立体几何难题(如图7),启迪学生的发散性思维,具有重要意义.

图7 空间中的线线、面面、面面关系图

3 空间垂角坐标系的应用前景

从结果来看,似乎与空间直角坐标系区别不大,仿佛人们也更习惯于用空间直角坐标系来解题,但从第一个变种Oxyz′到第二个变种Oxyz″以及“空间垂角坐标系”的形成,打破了“直角”的束缚,引入了“垂角”的概念,既是对建立空间坐标系认知上的一次更新,也是思维上的一次巨大跨越.一般人很难想到在空间中凭空建立一个三条坐标轴互不相交的垂角坐标系.而事实也证明,确实如此,从作者于2008年首次在试题中建立本文中的第一个变种至今,未曾有过“空间垂角坐标系”这一提法.

这种思维上的巨大跨越,好比螺纹应用于螺丝钉,在当代人看来很简单的一颗螺丝钉,却在人类漫长的历史上迟迟没有出现,直至五百年前才开始出现在人们的视野,而螺纹却在海螺身上存在过上亿年.由此可见,这需要具备发散性思维,可遇而不可求,极其难得.螺丝钉对现代工业而言,所起的作用不言而喻,空间垂角坐标系在数据加密、深空探测等领域也必定会有它的发挥空间.至少对教学而言,可以根据这个原理,开发出一种新的题型,即区分两个不同的空间垂角坐标系收集的数据是否代表同一几何体.

综上所述,空间垂角坐标系的出现,打破了“直角”的束缚,引入了“垂角”的概念,将空间直角坐标系归为空间垂角坐标系在坐标轴原点重合时的一种特殊形态,既是对建立空间坐标系认知上的一次更新,也是思维上的一次巨大跨越.对教学实践而言,能够启迪学生的发散性思维,对生产生活实际应用而言,也有其发挥空间.