化繁为简 化难为易——例谈立体几何的“动态”问题

白亚军

(甘肃省永昌县第一高级中学,甘肃 金昌 737200)

动态问题是高中立体几何的重要题型,常见题型为定位问题、角度、距离与体积的计算、图形问题和动点轨迹以及翻折、旋转问题等.

1 定位问题

例1 如图1,已知四边形ABCD,CDGF,ADGE均为正方形,且边长为1,在DG上是否存在点M,使得直线MB与平面BEF的夹角为45°?若存在,求出点M的位置;若不存在,请说明理由．

图1 例1图 图2 例1建系图

解析因为四边形CDGF,ADGE均为正方形,所以CD⊥DA,GD⊥DC.

又因为DA∩DC=D,所以GD⊥平面ABCD.

又因为CD⊥DA, 所以DA,DG,DC两两互相垂直.

如图2,以点D为原点建立空间直角坐标系,则B(1,1,0),E(1,0,1),F(0,1,1)．

因为点M在DG上,假设存在点M(0,0,t)(0≤t≤1),使得直线MB与平面BEF的夹角为45°.

设平面BEF的法向量为n=(x,y,z)．

令z=1,得x=y=1.

所以n=(1,1,1)为平面BEF的一个法向量．

评注由于立体几何中“动态”性的存在,代数法常常引入参量,达到以静制动的效果[1]．

2 角度问题

例2如图3,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,面ABCD⊥面ADPQ,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,求cosθ的最大值.

图3 例2图 图4 例2建系数

解析如图4所示建立坐标系.设AB=1,则

令t=8y+1(1≤t≤9),

当且仅当t=1时等号成立.

评注本题空间角除了用代数法,还可以用几何法,当点M在点P处时,EM与AF所成角为直角,此时余弦值为0(最小),当点M向左移动时,EM与AF所成角逐渐变小时,点M到达点Q时,角最小,余弦值最大.

3 距离问题

例3如图5,在三棱锥A-BCD中,平面ABC⊥平面BCD,△BAC与△BCD均为等腰直角三角形,∠BAC=∠BCD=90°,BC=2, 点P是线段AB上的动点,若线段CD上存在点Q,使得异面直线PQ与AC成30°的角,则线段PA长的取值范围是( ).

图5 例3图 图6 例3建系图

解析设BC的中点为O,连接OA,因为∠BAC=90°,BC=2,所以OA=1.

如图6,建立空间直角坐标系O-xyz,则O(0,0,0),A(0,0,1),B(-1,0,0),C(1,0,0),P(s,0,t),Q(1,m,0)(s<0,t,m>0).

也即3m2=4t(1-s)-(1-s)2-t2.

由此可得3m2=4t(1-s)-(1-s)2-t2>0.

结合t-s=1可得4(1-s2)>2+2s2.

即3s2<1.

评注求距离的基本方法是代数法,使用距离公式后转化为函数的最值问题.

4 体积问题

例4 如图7,在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,若平面ABC外一点P和线段AC上一点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体P-BCD的体积的最大值是____．

图7 例4图 图8 例4解析图

解析如图8,设M,N分别为AC,AP的中点,因为BA=BP=BC,PD=DA,所以点B在平面PAC上的射影为△PAC的外心O,且点O在直线ND上．

当且仅当点M与点D重合时取到等号．

因此,四面体P-BCD的体积为

此时点O,M,D重合,即点D为AC的中点,且平面PBD与平面ABC垂直相交于BD.

评注对于运动模型(规律)的求值问题,适当引入某个变量求最值．

5 轨迹问题

例5如图9,已知线段AB垂直于定圆所在的平面,B,C是⊙O上的两个点,H是点B在AC上的射影,当点C运动时,点H运动的轨迹是( ).

图9 例5图 图10 例5解析图

A．抛物线 B．圆 C．椭圆 D．不是平面图形

解析如图10,设⊙O的半径为r,取BC的中点M,则OM⊥BC,MH=MC.

因为AB⊥平面BCD,

所以BC是AC在平面BCD上的射影.

从而OM⊥平面ABC,得OM⊥MH.

于是OH2=MO2+MH2=MO2+MC2=r2.

即OH=r,亦即动点H在以O为球心、r为半径的球面上．

又因为BH⊥AD,B为定点,

所以动点H又在过点B且垂直于直线AD的定平面上,故点H运动的轨迹是圆．

评注解答轨迹问题的关键是将空间问题转化为平面问题,利用解析法求出轨迹方程[2]．

6 翻折、旋转问题

例6 如图11,在正方形ABCD中,E,F分别为线段AD,BC上的点,∠ABE=20°,∠CDF=30°．将△ABE绕直线BE、△CDF绕直线CD各自独立旋转一周,则在所有旋转过程中,求AB与DF所成角的最大值．

图11 例6图

解析由题△ABE绕直线BE、△CDF绕直线CD形成两个圆锥体,AB和DF成为圆锥的母线,所以无论怎么旋转,都有∠ABE=120°,∠CDF=30°．利用几何体性质得最大角是直线AB关于直线BE对称的直线BA′和DF关于直线CD的对称直线DF′在同一平面内时所成角,为∠ABA′+∠DCF′=70°.

评注处理翻折问题时,务必搞清楚翻折前后两个量之间的位置不变.

7 图象问题

例7在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为A1B1,C1D1,AB,CD的中点,点P从点G出发,沿折线GBCH匀速运动,同时点Q从点H出发,沿折线HDAG匀速运动,且点P与点Q运动的速度相等,记以E,F,P,Q四点为顶点的三棱锥的体积为V,点P运动的路程为x,当0≤x≤2时,表示V与x关系的图象为( ).

图12 V与x关系的图象

解析因为点P与点Q运动的速度相等,设底面ABCD的中心为O,连接OE,OF,则平面OEF把几何体PEFQ分割为体积相等的两部分[3]．

图时 图时

评注解决以立体几何为背景的分段函数的图象问题,解题的关键在于借助几何图形分析出动点在运动过程中图形的变化情况．