初中数学几何问题的解题技巧分析

黄启杰

【摘要】平面几何问题是初中数学知识的重点部分，也是在中考中常常出现的考点，对于很多考生也是难点之一，因此同学们需熟悉和掌握求平面几何问题，并灵活地运用解题技巧、借助于一些辅助方法去解答几何问题，起到化难为简的作用.考查平面几何问题的形式多种多样，相关的问题也都十分灵活.本文分别介绍三种常见辅助方法的解题思路：平移法解几何题、面积法解几何题、代数法解几何题，以不同例题为分析对象，结合具体例题讨论如何解决求平面几何问题，详细解答步骤以便于同学们熟悉和掌握这类问题，灵活运用不同思路有助于同学们更透彻地理解如何求平面几何问题.

【关键词】初中数学；几何问题；解题技巧

1平移法巧解几何题

平移法巧解几何题是将某些图形通过平移从而得到新的图形，会使计算变得很简单，所以其重点就是找出能用平移来解决的图形.解答这类问题，解题思路一般为：①根据题中已知条件，将所求的图形进行平移，平移出的图形代替原本所求图形；②通过计算即可求出结果.

例1如图1所示，A、B是河对岸的两个农庄，农庄的主人想在河岸l₁、l₂之间修一座与河流垂直的桥，使农庄A到农庄B的距离最短，请问该桥应该修在哪里？

剖析由A农庄到B农庄，需将此问题转化成求两个点之间的最短距离，要利用“两点之间线段最短”.但实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，将其平移过去，从而转化成两点之间线段最短的问题，利用平行四边形的特征即可求出.

解析如图2所示，作BB′垂直于l₂，使BB′等于l₁、l₂之间的距离，连接AB′，与l₁交于点P，作PD⊥l₂，则PD∥BB′，且PD=BB′，所以四边形PDBB′是平行四边形，即PB′=BD.因为两点之间距离最短，所以AB′距离最短，即AP+BD最短，故桥应建在PD处.

例2如图3所示，将△ABC沿BC方向平移d cm得到△DEF，若△ABC的周长为f cm，求四边形ABFD的周长.

剖析首先根据题中已知条件△ABC沿BC方向平移dcm得到△DEF，可知DF=AC，AD=CF=dcm，以及四边形ABFD的周长为△ABC的周长+AD+CF，最后代入计算即可求出四边形ABFD的周长.

解析因为△ABC沿BC方向平移dcm得到△DEF，

所以DF=AC，AD=CF=dcm，

所以四边形ABFD的周长为：

AB+BF+DF+AD

=AB+BC+CF+AC+AD

=f+2d，

故四边形ABFD周长是f+2dcm.

2面积法巧解几何题

用常规的方法求解几何题时，计算量很大，利用计算面积的方法间接求解，可以简化计算，快速解决问题.解答这类问题，解题思路一般为：①根据题中已知条件，将其转化成面积问题；②利用计算面积的方法间接求出答案.

例3如图4所示，在△ABC中，∠A为锐角，AB=AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，求证：BD=CE.

剖析根据题中已知条件，在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，以及考虑到有“高”，因此使用面积法来求解，然后用S△ABC=1/2AB·CE=1/2AC·BD即可求出BD=CE.

解析因为在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于點E，

所以S_△ABC=1/2AB·CE=1/2AC·BD，

因为AB=AC，

所以BD=CE.

例4如图5所示，在等腰△ABC中，AB=AC，D为底边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：DE=DF.

剖析首先连接AD，根据题中已知条件，在△ABC中，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，出现了两段垂线段，因此使用面积法来求解，然后用1/2S_△ABC=1/2AB·DE=1/2AC·DF，最后根据△ABC为等腰三角形，AB=AC，即可得出DE=DF.

解析 连接AD，

因为△ABC中，D是底边BC的中点，

DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，

所以1/2S_△ABC=1/2AB·DE=1/2AC·DF，

因为△ABC是等腰三角形，AB=AC，

所以DE=DF.

3代数法巧解几何题

在解几何问题中，直接求解较困难时，用方程、不等式、函数等代数知识来求解，将其巧妙转化为代数问题，充分利用数形结合的数学思想方法，运用代数知识求解，可以迅速找到解题途径，使问题迎刃而解.解答这类问题的解题思路一般为：①根据题中已知条件，将其转化成代数问题，设角度为x；②利用角度关系通过计算即可求出结果.

例5已知，如图6所示，在△ABC中，∠ACB=90°，在AB上截取AD=AC，BE=BC，DF⊥CE于点F，若DF=4，求CF的长.

剖析首先根据题目的已知条件，可知三角形ABC为直角三角形，以及设∠A=x，利用角度的关系即可得∠DCF=∠CDF=45°，从而对问题做出解答.

解析设∠A=x，

因为AC=AD，

所以∠ACD=1/2（180°－x，）

因为∠B=90°－x，BC=BE，

所以∠BCE=1/2（180°－90°+x）

=1/2990°+x，）

即∠DCE=∠ACD+∠BCE－90°=45°，

因为DF⊥CE，

所以∠CDF=45°，∠DCF=∠CDF=45°，

所以DF=CF，

因为DF=4，

所以CF=4.

求平面几何问题是中考的重点问题和难点问题，考查平面几何问题的方式多种多样，本文给同学们提供了三种求平面几何问题的解题思路和应用步骤：平移法解几何题、面积法解几何题、代数法解几何题.不同思路对应解题方式各不相同，有助于同学们了解每个解题方法的优势和适用范围，有助于同学们快速采取正确合理的思路解答这一类问题.通过对上述例题的分析，希望同学们在学习过程中针对不同的问题，灵活解答，以此提高解题的效率.

参考文献：

［1］曾钰玲.浅谈初中数学利用建系法巧解几何题[J].数理化解题究，2021，513（20）：2-3.

［2］潘立新.巧用图形变化，妙解几何试题[J].中学数学：初中版，2013（11）：3.