在祖暅原理及其应用的教学中授人以渔

叶燕

摘 要：《祖暅原理及其应用》是普通高中教科书数学必修二《探究与发现》出现的内容，堪称我国古代数学之瑰宝.它集思想性、科学性、文化性和教育性于一体，但在实际教学中并没有得到应有的重视.在今年福建省高三数学质检中，问题被彻底暴露出来了，这应当引起教育管理部门的注意，引起广大高中数学教师的反思.

关键词：祖暅原理；数学教学；授人以渔

2 原因分析

关于祖暅原理，经过进一步的了解，发现绝大多数考生居然对此一无所知，遑论对祖暅原理的理解与应用了.可见，考生无从下手的主要原因在教学，而这又与一种客观存在的现象有关，即“多考多教，少考少教，不考不教”.虽然新课改进行了这么多年，可在当下的高中学校，这种“为考而教，有考才教”的现象还未绝迹，对教师也是一个误导，久而久之，潜移默化，形成错误认知，冲淡新课程理念，阻碍教师的个性化教学，使得课堂教学趋于同质化.以祖暅原理为背景的试题在各地的高三数学模拟考中不多见，还让笔者记忆犹新的，只有2013年的上海试题.这就不难理解，在当下的高中课堂上为什么鲜见祖暅原理的教学了.

在高中数学课本上，除了有栏目《探究与发现》，还有《阅读与思考》等栏目，这些栏目里的内容都很精彩，若能认真对待，不仅教学可以出彩，而且可使学生受益匪浅.况且祖暅原理非常浅显易懂，教学中通过对鲜活生动的例子探究，可以使学生学得兴趣盎然，活学活用.可惜的是，《祖暅原理及其应用》就像一颗遗落的明珠，高一错过了它，到了高三，还是没有引起绝大多数教师足够的重视.

学生在这道质检题的失败，折射出《探究与发现》、《阅读与思考》等栏目的内容在高中数学教学中的尴尬，即被边缘化，被置之不理.同时也是一種无声的呼唤，对于《探究与发现》、《阅读与思考》等栏目的内容，在日常教学中，真的可以当它们为边角料，视而不见，置之不理吗？教师真的需要沉下心来思考，教书育人，两位一体，是不可分割的，是不能偏废的，但怎么融合？怎样使《探究与发现》、《阅读与思考》等栏目的内容教学与“正文内容”的教学相得益彰？

3 授人以渔

让学生理解祖暅原理不难，原理本身通俗易懂，难就难在利用祖暅原理求几何体的体积时，有一道坎，即怎样寻找到一个既满足祖暅原理要求，又容易求出体积的几何体.师者，传道解惑也.在探究半球的体积时，惑为怎么想到“去取一个底面半径和高均为R的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面中心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上（图2（2））”？解惑：分析截面面积公式S1=πr2=π（R2-l2）=πR2-πl2，而πR2-πl2可以看成半径分别为R和l的两圆的面积之差，即S1可以看作是在距离大圆所在的水平面为l之处，半径为R的圆面上挖去一个半径为l的同心圆后，所得圆环的面积（如图2所示）.

显然，这个半径为R的圆面可视其为底面半径为R的圆柱之截面，而在该截面上挖去的同心圆，其半径l正好等于截面和下底面的距离.进一步分析可知，这个挖去的同心圆，可视其为一个倒立圆锥在等高处的水平截面，倒立圆锥的母线与轴成45°角.它的底面半径和高均为R，这正是我们会想到“在一个底面半径和高均为R的圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面中心为顶点的圆锥”的原因.把所得组合体与半球放在同一水平面上（图2（2））.

在任意等高处，这两个几何体的水平截面的面积总相等，于是他们的体积相等.

参考文献：

［1］ 栾丽娜.高中数学立体几何高考试题分析与教学策略研究——以理科为例［D］.河南大学：2015.

［3］ 李菁.构建问题体系助探究动手合作实验促学习——以《祖暅原理及其应用》的教学为例［J］.中学教学参考，2018（35）：3-7.

［4］ 张守江.也谈高考中的数学文化试题［J］.兰州教育学院学报，2018（6）：155-157+160.

［5］ 吕圆.HPM视角下高中数学问题解决教学研究［D］.曲师范大学，2012.

［6］ 于道洋，宁连华.试论墨家的理性精神及其对数学教育的启示［J］.数学教育学报，2021（5）：87-91.