巧技妙法，发散思维

桓坤

摘要：多元（一般以二元或三元为主）函数的最值或取值范围问题，是各类考试中一类常见的热点问题，破解的关键是合理恒等变形，巧妙运算转化，借助消元或换元处理，利用齐次化法、主元函数法、方程或不等式的判别式法与几何法等来分析与处理，形成能力，总结并掌握破解规律，引领并指导解题研究与应用．

关键词：齐次化；主元；判别式；几何；最小值

1问题呈现

问题已知实数a，b满足a4－2b2+2≤0，则a2+3b2a2+b2的最小值为．

此题以二元的高次不等式為问题条件背景，改变传统比较常见的方程形式，以不等式形式来创设情境，进而确定对应的二元齐次分式的代数关系式的最值问题．

抓住二元代数式的结构特征，破解此类问题的基本常规思路主要包括以下几类基本技巧与方法：齐次化法，主元函数法，方程或不等式的判别式法与几何法等，从代数视角与几何视角进行多方位切入，通过基本不等式、函数与方程、直线与抛物线的位置关系以及导数及其应用等知识的交汇与综合来分析与处理，展示精彩纷呈的思维与方法．

2问题破解

方法1：（齐次化法）

解：当a=0时，可得b2≥2，则有a2+3b2a2+b2=3；

当a≠0时，令t=b2a2≥0，由a4－2b2+2≤0可得a2－2·b2a2+2a2≤0，

结合基本不等式，可得b2a2≥a22+2a2≥2a22×2a2=2，当且仅当a22=2a2，即a4=2时等号成立，

则有t=b2a2≥2，此时a2+3b2a2+b2=3t+1t+1=3－2t+1，

所以当t=2时，3－2t+1取得最小值为3－22+1=73，即a2+3b2a2+b2≥73.

综上分析，可知a2+3b2a2+b2的最小值为73．

解后反思：根据题目条件处理二元高次代数式问题，齐次化消元处理是解决问题的首选思维方法．结合所求代数式的二元齐次分式的结构特征，合理齐次化处理，巧妙换元处理，转化为一元函数问题，方便求解相应的最值问题，也是破解的常规思维方式，特别要注意的就是正确确定参数的取值范围的限制．

方法2：（主元法）

解：由a4－2b2+2≤0，可得b2≥a42+2，

当a=0时，可得b2≥2，则有a2+3b2a2+b2=3；

当a≠0时，

那么利用基本不等式，可得a2+3b2a2+b2=3－2a2a2+b2≥3－2a2a2+a42+2=3－22a2a4+2a2+2=3－22a2+2+2a2≥3－222a2×2a2+2=3－2222+2=73，当且仅当a2=2a2，即a4=2时等号成立.

综上分析，可知a2+3b2a2+b2的最小值为73．

解后反思：根据题目条件中涉及的多元函数关系或不等式条件，主元意识是实现单变量函数最值问题求解的基本策略．通过条件中的二元高次不等式进行主元化处理，利用所求二元分式的恒等变形与转化，综合不等式性质以及基本不等式来巧妙转化与合理应用，主次分明，思路流畅．

方法3：（判别式法）

解析：设t=a2+3b2a2+b2>0，1

代入a4－2b2+2≤0，可得3-tt-12b4－2b2+2≤0，

由于以上含b2的二次不等式有解，则知判别式Δ=2－83-tt-12≥0，

则有3-tt-12≤14，结合1

所以a2+3b2a2+b2的最小值为73．

解后反思：根据题目条件所求的二次分式进行整体换元，通过待定系数法加以变形与转化，进而代入条件中的不等式进行消参处理，构建一元二次不等式，借助不等式有解的条件，通过判别式的构建来分析与处理，也是一种非常不错的选择．待定系数法引入参数，借助一元二次方程或不等式有解的背景，通过判别式法来建立不等式，是求解参数的最值或取值范围问题中的一种巧妙方法．

方法4：（几何法）

解析：令a2=x，b2=y，则由a4－2b2+2≤0，整理可得y≥12x2+2≥2，

由于a2+3b2a2+b2=1+2b2a2+b2=1+2yx+y=1+2xy+1，那么只需求yx的最小值，即抛物线y=12x2+2在第一象限上的任意一点与坐标原点的连线的斜率的最小值，即过坐标原点的切线斜率，

如图所示，求导有y′=2x，不妨设切线方程为y－x02+22=2x0（x－x0），

将（0，0）代入以上切线方程，可得x0=2，

则知过坐标原点的切线斜率k切线=2x0=2，可知k≥2，

所以a2+3b2a2+b2=1+2xy+1≥1+212+1=73，

所以a2+3b2a2+b2的最小值为73．

解后反思：根据题目条件进行合理换元处理，结合所求代数式的结构特征，合理联想其所对应的几何结构与几何意义，通过构造局部抛物线图形，利用直线与抛物线的位置关系来数形结合，通过导数的几何意义以及直线与抛物线的相切来确定最值问题．数形结合是借助代数式的几何结构与几何意义加以直观转化的一种特殊形式与技巧策略．

3教学启示

3.1考点剖析，知识交汇

多元（一般以二元或三元为主）函数的最值或取值范围问题是近年高考数学中的一个热点，题目的考查往往可以巧妙融入到其他知识模块中去，考试中通常不以直接问题的考查形式出现，一般与函数与方程、不等式、平面向量、三角函数、平面解析几何、立体几何等知识点加以巧妙结合.因此平时要加强多元函数的最值或取值范围问题的处理的方式的训练与应用．

3.2思维视角，能力提升

破解此类多元（一般以二元或三元为主）函数的最值或取值范围问题，要充分挖掘题目内涵与问题本质，深入理解并巧妙整合，通过齐次化法，主元函数法，方程或不等式的判别式法与几何法等，从代数或几何视角，综合函数或方程、不等式、平面向量、三角函数、解析几何等思维方式来处理.举一反三，灵活变通，真正达到融会贯通，数学知识、数学能力、数学思维等层面融合，形成数学知识体系，提高数学能力．

参考文献：

［1］ 程华.从“一题多解”审思解题教育的思维培养［J］.数学通报，2020，59（8）：50-54.

［2］ 李海军.一个不等式的探究与推广［J］.数学通报.2022，61（5）：60-62.

［3］ 张诚.初中生数学思维发散障碍的呈现与突破［J］.教学与展现，2017，NO.719（34）：47-48.

［4］ 周兴伟.一道一题多解题的赏析与延伸［J］.数学通报，2006（9）：45-47.