关于核心词“运算能力”的解读

冯建青

摘 要：2022年版《课程标准》修订，重点强调要培养学生的核心素养.“运算能力”作为关键词，该如何理解其内涵？教学时该凸显哪方面核心素养？评价时该怎样着力？笔者基于2022年版《义务教育数学课程标准》，对以上问题作了思考与研究.

关键词：义务教育数学课程标准；运算能力；数学思维

2022年版《义务教育数学课程标准》中提出了十一个数学核心词，运算能力是其中之一.从课时目标来看，形成运算技能是重要内容；从整体视角来看，提升运算能力、培育核心素养才是关键.我们需要解析运算能力的内涵，对症下药、找准培育策略，才能发展学生核心素养.

1 破解定义，理解“运算能力”内涵

1.1 “运算”与“计算”的区别

小学数学的用词习惯里，把两个数的加减乘除叫做四则计算；多个数的加减乘除叫做四则运算.而运算还有更广泛的内涵，不仅包括数字的计算，还包括了集合、向量等内容.现在的义务教育课程标准是涵盖了小学和初中阶段的，故从2011年版课标开始称之为“运算能力”，更为合理.

1.2 2022年版课标中对于“运算能力”的定义及理解

在2022年版新课标中的解释，运算能力比原来多了一些内容：“主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力.能够明晰运算的对象和意义，理解算法与算理之间的关系；能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题；能够通过运算促进数学推理能力的发展.运算能力有助于形成规范化思考的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学态度.”［1］

笔者用两个学生在解决问题的过程中，经常出现的反例，来剖析一下运算能力三句话的含义.

首先要有“正确运算的能力”.第一个例子（如图1），这是个三步计算解决的问题，错误出现在中间一步，两位数减两位数且有退位的口算.但是学生没有意识到自己的错误，因为最后一步35÷5刚好也除得尽.所以学生运算不正确，也并未发现.

其次要“理解算法与算理之间的关系”.算法是计算的法则、是定律，算理则是每一步为什么可以这样做的依据，两者密不可分.第二个例子（如图2），是简便计算中错误率很高的题型，学生不能将39×401转换为“401个39”，只是死记硬背计算法则，就会出现只算“400个39再加1”的情况.

再者“选择合理简洁的运算策略”.第三个例子（如图3），学生的运算过程、结果都是正确的.但是因为我们学过了有余数的除法，所以可以用除法来求77里面最多有几个8、还余几.显然这位学生的算法是不够简洁，可以改进的.

如果说2011年版的课标中，运算能力是包含3个方面的：其一正确得出结果，其二理解运算的算理，其三能够根据条件寻求到合理简洁的运算途径.那么2022年版的课标中，还将核心词联系了课程育人导向、发展核心素养，要用数学的思维思考现实世界.

1.3 “运算能力”中蕴含的数学核心素养

小学数学的核心素养的内涵，主要包括三个方面，也就是“三会”.“运算能力”着重表现的数学核心素养是“会用數学的思维思考现实世界”，除却课本上教会学生的知识与技能，还能够探究自然现象或现实情境所蕴含的数学规律，经历数学“再发现”的过程;发展质疑问难的批判性思维，形成实事求是的科学态度，初步养成讲道理、有条理的思维品质，逐步形成理性精神.［1］

2 领会核心素养，掌握“运算能力”的培育策略

在思考如何培养“运算能力”之前，我们来看一下它的形成过程（如图4）：首先需要从理解算理，初步理解算法开始；其次在这个基础上让学生有内化算理、概括算法的过程；再次让学生内化算法、形成运算技能；最后要关注学生，组建相关的运算结构，并且能够迁移应用.

整个过程中，算理的重要性不言而喻.算理，简单地说，如果把运算本身看作是推理，算理的就是推理的依据，是用来解释，每一步为什么能够这样进行、这样做的依据.教材在编排“数的运算”时，算理是由浅入深、层层递进的，详见表1［3］.比如要学六年级的分数乘法，导入一定会从学生已知的整数加减乘除出发勾连旧知.

“数的运算”中每个新授的知识点，一定是在一个已有的算理上生长出来的.所以我们认为，培养运算能力最重要的部分，是教师在研读教材时要关注到知识的生长点和连续性，建构能让学生思维自然生长的知识序列，促进其主动探究，达到知识自主建构的目的.要培养学生的运算能力，策略有二：

2.1 “转化”思想——促进知识的迁移

“转化”是以一种基本的数学思想，常被教师用于解决实际问题时理解题意、几何与图形中分析题目，在数与代数的领域用得不多.转化都是指把一个复杂的问题转化成一个简单的问题，把一个陌生的问题转化成一个熟悉的问题，把一个新的问题转化成一个已知的问题.利用“转化”的数学思想，可以把零散的知识通过核心概念建立起关联，促进知识与方法的迁移.

“转化”又是有条件的，知识之间的联系的丰富性和组织性，是转化的基础、是知识迁移的条件.迁移应用之前，先要关注知识结构的组建，便于学生进一步地、更好地迁移和应用.2022年版新课程标准的修订，就更注重数学课程的整体性与一致性，如在数与代数领域由原来的四个主题变为两个主题，把负数、方程、反比例相关内容都移到了初中进行教学.

或许我们用“倒放”的方法能看得更清楚下列问题：

（1） 六年级上册的分数除法，是学生容易出错的题型，我们看它的运算方法其实是用倒数形式，转化为了做分数乘法；

（2） 教学分数乘法，尤其是分数乘整数时，都是转化成了整数的乘法，再根据分数乘法规则来计算；

（3） 异分母的分数加减法，则是通过通分，转化为同分母的加法和减法；

（4） 初识分数的含义时，我们都是将其看作一个整体平均分成几份，求其中的几份是多少，其实是转化成了一个数除以另一个数；

（5） 除法是乘法的逆运算.

有余数的除法，是转化为乘法和加法；

而乘法，表示的是几个相同加数的和.

加法也有它们算理的生长点，在此不做赘述.再回到“正常播放状态”，苏教版数学教材中，正式教学“转化策略”是在五年级下册，然而通过分析，其实转化的思想一直都在，只是对于低段和中段的要求比较少，只要求学生能感知这种数学思想，并未要求其理解和掌握.教师如能从低段开始注重教材的有序性，经过长久地浸润，到了高段学生便能自觉地在头脑中搜索与新知有关的旧知识解决问题，促进知识与方法的迁移，使学生的学习更轻松更持久.

2.2 数形结合——算理也可以很生动

运算能力，不能仅仅局限在算式里去培养学生的运算能力，应把运算的培养延续到解决问题的过程当中，发展学生的核心素养.数形结合是将抽象的数字与形象的图形相结合，让学生对于枯燥的数字、抽象的算理，有形象生动的认识.

苏教版数学教材五年级下册“转化——解决问题的策略”中特地介绍了特殊的分数加法的计算方法：计算12＋14+18+116时.教材是这样呈现的（如图5），让学生“观察这道算式，你有什么发现”？交流：后面的加数是前面加数的一半，再引导学生借助画正方形来理解，原式可巧妙地变形为1-116.

在初识用字母表示数时，辨析2a和a2是难点，教师可以用线段图表示长度，即2个a合起来是多长；用正方形的面积表示a2，即a个a是多大.数与形减缓学生在学习新知时认识的难度，帮助学生轻松地打开更广阔的数学天地.

教材的内容结构化，便于教师在教学中智慧地运用教材，把零散的数学知识通过核心概念建立起关联，让学生学习新知永远觉得“似曾相识”，减少学习难度，增加学习信心，使数学学习更轻松和持久，利于形成用数学的思维看现实世界的能力.

3 评价“运算能力”的内容与方法

3.1 评价“运算能力”的关键指标

“运算能力”评价的关键指标是口算能力、笔算能力、估算能力.

3.2 评价“运算能力”的多元化形式

2022年版课标指出，评价不仅要关注学生学习结果，还要关注学生学习过程，激励学生学习，改进教师教学［1］.数的运算由于教材中知识点的前后衔接非常密切，可以让学生用思维导图进行过程性评价.思维导图可以帮助学生梳理知识框架，有序的知识框架是更为正确的知识储备，在往后的学习中更容易读取旧知.学生經过独立思考，架构属于自己的知识网络，使得原有的认知结构得到完善、能力得到发展，数学核心素养也必将于无形中得到提升.

用多元化的学生自评，能让学生更清楚自己的学习水平、知识盲点，教师可以根据统计结果实施分层作业，调整教学内容.例如疫情复学后，班级里的运算水平参差不齐，需要教师尽快对学生知识点的盲区进行摸排.这张学生自我评价表，不仅可以帮助学生了解自己网课的情况，也可以帮助老师了解全班的知识盲区，及时调整教学步伐.学生在完成自评表的同时，能够自我监控自己学习的过程和结果，从而形成实事求是的科学态度，进而真正发挥数学的育人价值.

参考文献：

［1］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］ 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［3］ 薛松.“数的运算”中转化思想的内容与层次——以苏教版小学数学教材为例［J］.教学与管理，2012（29）：6364.