例说一类含参数零点问题的解法

安徽省宿州市砀山中学 (235300) 毛晓伟 王 义

函数零点问题一直是高考中的热点和难点,尤其是当其与导数结合起来时,解题方法更显得灵活多变,难度不容小觑,笔者认为,函数零点问题的基本解决思路及方法可归纳如下:

首先研究函数f(x)单调性——自然要借助函数f(x)的导函数f′(x)(或f″(x))——这就需要知晓f′(x)的正负——往往要利用导函数f′(x)的零点——或隐零点——利用“隐零点”时则需借助“变形+构造”或“变形+放缩+构造”等方法来实现解题目的.

本文结合我校近期一道含参数零点问题的月考试题为例,一题多解,抛砖引玉.

一、试题呈现

已知函数f(x)=ln(x+1)-x+1.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)设函数g(x)=aex-x+lna,若函数F(x)=f(x)-g(x)有两个不同零点,求实数a的取值范围.

二、解法探究

第(1)题略;本文重点讨论第(2)小问.

思路1:隐零点视角

点评：本题由于函数F(x)复杂,直接分类讨论,参变分离,参变半分离等基本方法行不通,故先求导,再求单调区间,极大值,转化求函数F(x)极大值大于零,运用隐零点设而不求,消元转化,解法1全部消参换元,进而求函数最值,解法2部分消参,利用不等式放缩,求解最值,解法3部分消参,直接分类讨论求参数的取值范围.

思路2:同构视角

点评：解法4,解法5从函数F(x)整体入手,观察分析,可变形为ln(x+1)+x+1=aex+x+lna,由对数恒等式可知,aex=elna+x,x+1=eln(x+1),x+lna=lna·ex,则可构造h(x)=ex+x或h(x)=x+lnx在利用函数单调性将问题转化为可分离参数类型的简单函数,进而求出参数a的取值范围.

思路3:构造函数视角

点评：解法6参数半分离,转化两个互为反函数交点个数问题,进而转化为与函数y=x有两个不同交点问题,在利用函数单调性将问题转化为可分离参数类型的简单函数,进而求出参数a的取值范围.