挖掘本质,类比探究

张秋实

摘 要：借助一道有关椭圆焦点弦问题的解决与分析，回归问题本质，归纳拓展结论，从椭圆角度全面推广到双曲线、抛物线，以及更具一般的圆锥曲线问题，得到圆锥曲线焦点弦的一个优美定值，全面深化解题效益，提升解题品质与数学能力，引领并指导数学教学与解题研究.

关键词：椭圆；直线；焦点；双曲线；抛物线

涉及圆锥曲线的焦点弦及其相关的定值或取值范围问题，一直是圆锥曲线问题中比较常见的考查点之一，也是高考中常考常新的热点问题之一，倍受各方关注.特别，涉及圆锥曲线的焦点弦的定值问题，往往“数”“形”融合、“动”“静”兼备，情境创新，“动感十足”，更是“变量”与“定值”完美融合的一大场所，借助创新情境合理创设，实现不同情境、不同知识之间的融会贯通，较好体现试题的选拔性与区分度.

结论2、3、4的证明过程可以参照以上模拟题的解析过程，或结论1的极坐标思维证明过程来展开与证明，这里不多加以叙述.

由单一的椭圆焦点弦问题，进一步拓展到双曲线、抛物线的焦点弦问题，使得此类涉及圆锥曲线的焦点弦的定值问题的研究更有价值，更有普遍性，更有推广性.

5 教学启示

5.1 “动”“静”结合，定值探究

涉及圆锥曲线中的定值问题是历年高考和竞赛中的一个热点问题，合理从“动”中取“静”，在“动”中找规律，在“动”中取“定”，变化中取“定值”.具体解决问题时，合理利用“動”“静”结合，借助解析几何的问题背景，从解析几何视角、平面几何视角、解三角形视角、极坐标视角或特殊思维视角等来切入与分析，实现定值问题的探究与确定.

5.2 方法总结，思想归纳

解决圆锥曲线问题的常见思维方式有：解析几何思维、平面几何思维、解三角形思维、参数方程或极坐标方程思维，以及特殊思维等，借助解析几何的坐标法、解三角形法以及特殊法等来解决.在实际解题过程中，可以尝试借助以上几类比较常见的思维方式加以合理切入，并结合实际问题选择行之有效的技巧与方法来分析与处理，真正达到全面发散数学思维，提高数学能力，提升数学品质，培养数学核心素养.

参考文献：

［1］ 韩文美.公共焦点离心率，巧借结论妙解题［J］.中学生数理化（高二数学），2019（Z1）：13-15.

［2］ 金铁强.圆锥曲线焦半径公式的进一步推导及应用［J］.中学数学，2022（17）：53-54.

［3］ 黄丽.椭圆焦点弦的一类性质探究［J］.数理天地（高中版），2022（14）：2-3.