依“法”循“理”

张琦

【摘要】学生学习加法、减法、乘法竖式计算时均是从低位算起，可是到了除法阶段，却要求从高位算起。学生受到已有经验的影响，很容易从低位除起。文章结合沪教版小学三年级第一学期“两位数被一位数除”这一教学内容，走进课堂进行3次实践，探寻算法背后的算理，让学生真正做到“知其然，并知其所以然”。

【关键词】除法；高位除起；算理

本文將结合沪教版小学三年级第一学期“两位数被一位数除”这一教学内容，走进课堂进行3次实践，探寻算法背后的算理，让学生真正做到“知其然，并知其所以然”。

一、问题的提出

在“两位数被一位数除”这一课中，沪教版教材的安排是：创设4人平分71支笔的情景，引导学生先分捆再分根，之后把分的过程用竖式表达，最后小结“除法竖式从被除数的高位除起”。这样的教学流程，笔者认为学生对“除法为什么不能从低位除起，而要从高位算起”是不知其所以然的。所以，教师教学这一内容时，要有所突破，努力挖掘“除法竖式从被除数的高位除起”的数学本质，让学生的算法得到算理的支撑，做到依“法”循“理”。

二、课堂实践

实践一：除法能从个位除起吗？

课堂上创设一个生活情境，让学生编题，再列式解答。但是在竖式计算“46÷3=  ”，出现了如下典型做法，约占了全班同学的70%。

不难发现，这两种做法不约而同都从被除数的个位除起。其中，做法1除完个位再除十位，把1个十直接当成余数。做法2则继续除10，发现还能上3余1。对于做法1，教师尚且可以用“余数要比除数小”这条规则进行指正；那错误2呢？学生说得头头是道：“除完个位再除十位，发现还剩下1个十，继续除，最后把三次结果合起来商就是15余1”。

仔细分析这两种做法背后的原因，显然学生是受到之前加法、减法、乘法竖式计算方法的负迁移（从低位算起），那为什么到了除法，却不能了呢？作为教师，是否该直接告诉他们：书上就这样规定的，除法竖式从被除数的高位除起。思考片刻后，笔者觉得不妥，决定停下教学的脚步，思考该如何教。

实践二：除法为什么要从高位除起？

笔者和组内教师一起交流这个问题，大部分教师都同意直接告知“除法竖式从被除数的高位除起”这一理论，理由是“书上就是这样规定的”。最后根据各种资料及与工作室导师曹培英老师的交流中，豁然开朗，领悟“除法竖式从被除数的高位除起”的本质特点：一是简洁性，二是合理性。

笔者用“46÷3=  ”和“71÷4=  ”两组数据进行教学。目的是让学生在借助小棒操作（4捆6根平分3份）的过程中，通过分的次数多少来感受“先分成捆，再分单个”这个方法的简洁性（如果先分单个，分完一共需要3次；如果先分成捆，分完一共需要2次）。再通过思考“7捆1根平分4份”的分法，让学生感受“先分成捆，再分单个”这个方法的合理性（先分单个此题分不了）。安排这样分小棒的过程，得出分小棒的结论“先分成捆，再分单个”与“竖式计算从被除数的高位除起”不谋而合。

实践三：哦，原来除法要从高位除起。

有了想法后，笔者再次进入课堂实践。

片段一：

动手操作“46支笔3人平分”，操作完毕后教师结合学生的交流进行竖式板书。

生1：我先分6根小棒，3人平分，一人2根。我再分4捆，一人1捆，还剩下1捆。拆开变成10根，每人分得3根，还剩下1根。一共分了3次，每人分得15根。（师小结：这是“先分单个，再分成捆”的方法）

生2：我先分4捆，3人平分，一人1捆，还剩下1捆，拆开，16根3人继续平分，一人5根，还剩1根。一共分了2次，每人分得15根。（师小结：这是“先分成捆，再分单个”的方法）

对比两条竖式和分的次数，师小结：“先分成捆，再分单个”更简洁。

片段二：

师：71支笔4人平分，不操作，请你想一想可以怎么分？

生：我先分7捆，4人平分，一人1捆，还剩下3捆，拆开，31根4人平分，一人7根，还剩3根，每人一共分得17根。

师：你也是用“先分成捆，再分单个”的方法，为什么不用“先分单个，再分成捆”的方法呢？

生：因为这里单个只有1根，分不了。

师：“先分成捆，再分单个”这个方法更合理。所以“除法的竖式计算要从被除数的高位除起”。

片段三：

当学生掌握了用竖式计算的本领，让学生回忆46支笔3人平分的过程，用横式表达，以此沟通横式与竖式之间的联系，为竖式的计算方法提供算理的支撑。

最终，巩固环节学生单独竖式计算91÷7的正确率高达85%。正是因为有了这样的及时调整，学生不再“依葫芦画瓢”般进行除法计算，对于“除法竖式从被除数的高位除起”也能知其所以然，让除法计算的算法有“理”可循。

三、分析与反思

1．意外中的必然

教材上71÷4只能从高位除起，补充46÷3的本意是为了弥补这个缺陷，满足除法竖式从低位除起。没有想到学生的做法暴露出他们的真实想法：“之前的竖式（加、减、乘）都可以从低位算起，除法计算也应该可以。”这意外的收获开启了笔者寻理之路：除法竖式计算为什么从高位除起？最后通过大家的智慧碰撞，发现46÷3这个算式，不仅从高位、低位都能分，更重要的是让学生感知先分捆再分根（从高位除起）的简洁性、合理性，使得“除法竖式从被除数的高位除起”有“理”可循。

2．外部活动内部化

关于学具的选择，小棒的出现无疑诠释了普通中的不普通。普通的小棒生活中很常见，当把10根放一起就能变成一捆，几捆几根，就能表示几个十几个一，巧妙地和十进制融为一体。“先分捆再分根”不就是“先除十位再除个位”吗？这样的勾连，实在不普通！在动手操作“46根小棒3人平分”时，学生拿着4捆小棒，一人一捆分时，可以用算式30÷3=10表示。剩下的1捆拆开变成10根和单独的6根合并之后继续3人平分，每人分得5根还余1根，就可以用算式16÷3=5……1表示，用算式表示分的过程就是操作活动数学化，这是除法竖式方法的雏形，同时学生也能从算式中发现“先分成捆，再分单个”这种方法的简洁性。而这个简洁性就是除法竖式从被除数高位除起的道理。由此可见，外部活动内部化是教师让学生依“法”循“理”的有效途径。

3.破旧立新显特色

面对学生“从低位除起”的错误时，笔者并没有慌张和胆怯地选择直接告知的纠错方法，恰恰相反，选择勇敢地停下来，寻找补救机会。因为笔者深知，直接告知的教学，学生仅能掌握算法但不清楚算理，他们更多的是模仿练习，对结论也只是“死记硬背”。通过突破思维定式运用分小棒的操作，把“先分成捆，再分单个”的方法与“从被除数的高位除起”有效关联起来。让学生体验到“先分成捆”的方法既简洁又合理，所以除法计算要从被除数的高位除起，真正做到依“法”循“理”。

【参考文献】

[1]曹培英.跨越断层，走出误区：“数学课程标准”核心词的解读与实践研究[M].上海：上海教育出版社，2017.

[2]潘小明.数学生成教学[M].北京：首都师范大学出版社，2012.

[3]邓国强.在研究中读懂，在读懂中创新[J].小学数学教育，2012（Z1）.