“圆锥曲线”复习课教学设计

付秀波

摘  要：在学完解析几何的相关内容后开设章末复习课，设计的基本思路是：以任务驱动学生自主复习，在回顾并总结知识的过程中引导学生归纳概括圆锥曲线的研究方法，在找共性的过程中逐步明晰解析几何的基本思想.

关键词：复习课；知识回顾总结；方法归纳概括

一、教学内容解析

本节课是北师大版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册（以下统称“教材”）第二章“圆锥曲线”的复习课. 平面解析几何的基本思想是把几何图形放到平面直角坐标系中，用代数方法研究几何问题，基本方法是坐标法. 建立平面直角坐标系后，平面上的点可以用坐标表示，即将几何中最基本的元素（点）和有序数对（x，y）之间建立一一对应的关系，从而平面上的一条曲线就可以由含有两个变量的代数方程来表示. 这样，我们就可以利用方程来研究几何对象之间的关系及其本身的几何性质. 具体探究过程如图1所示.

圆锥曲线是高中平面解析几何的核心内容，也是一类重要的数学模型，其研究方法充分体现了解析几何的基本思想，在天文、物理等领域中同样占有重要地位，在生产或生活实际中有着大量应用. 圆锥曲线中包含了丰富的数学文化内容，是进一步培养学生对数学的内在兴趣及科学精神的良好载体.

椭圆、双曲线和抛物线在定义、研究方法与基本思想方法上有诸多共性，是培养学生自主复习、共同归纳的良好素材. 教材第82页的阅读材料“圆锥曲线的共同特征”中对圆锥曲线的统一定义及对极坐标系下圆锥曲线统一方程的瞭望，是开阔学生认识、打开学生眼界的良好材料.

二、教学目标设置

通过课前自主复习、课上展示交流等互动学习过程，获得对圆锥曲线基础知识的进一步理解；通过对椭圆、双曲线和抛物线研究方法的归纳，对圆锥曲线的研究方法产生深刻的理解，培养学生的归纳能力；通过对圆锥曲线，以及直线、圆等几何图形研究方法的提炼，获得对解析几何基本思想的认识.

通过课前自主复习、课上交流过程中的自我感受，以及教师的引导、分析、明晰、引申，进一步认识图形的对称美、方程的结构美、数学的逻辑美等，培养学生的数学学习兴趣.

通过重温名称来源，结合解析几何思想的归纳及例题的求解过程，获得数学文化的熏陶.

三、学生学情分析

本节课的授课对象是高二年级的学生，他们已经知道直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的相关知识，感受过它们的研究方法，初步了解了坐标系、解析几何的来源和主要内容，以及与之有关的数学家和数学故事. 学生具有一定的图形分析和代数推理能力，有通过建立平面直角坐标系得出曲线的方程和通过方程分析曲线的性质或者曲线之间的位置关系的经验；具有一定与圆锥曲线基础知识有关的题目储备和解题经验. 这些为本节课的学习提供了充分的基础知识和思想方法准备.

要达成本节课的教学目标，上述学生已经具备的知识、能力和经验基础不可或缺，但本次复习的重点是对知识的系统整理和对研究方法的歸纳，学生在这方面的经验还不够，这是达成本节课教学目标的难点.

四、教学策略分析

1. 精心设置自主复习提纲，任务驱动

从重温圆锥曲线的来源和分析本节课教学的必要性和意义入手，精心设置自主复习提纲，设计思维螺旋上升的阶梯，引导学生复习、梳理、比较、总结、联系、概括已学知识，提炼共性并形成清晰的思维主线，提高认识、发展能力.

2. 充分开展学生活动，归纳探究

站在学生的角度，从学生已有的认知出发，给学生提供参与课堂教学的机会和自我领悟的空间，让学生在自主学习、充分展示和相互交流的氛围中学习.

五、教学过程设计

为了让学生熟悉找共性的复习方法，同时引领学生从复习知识深入到总结方法、提炼思想，并感受思想方法的应用，本节课的教学过程设计为7个环节，依次是重温名称来源、自主复习提纲、知识回顾总结、方法归纳概括、探究解决问题、课堂学习小结、课后作业布置.

1. 重温名称来源

在章起始课中，教师通过文字、视频、动画等途径，与学生分享了关于圆锥曲线的科普知识，其中包括数学家梅内克缪斯在冲击数学难题时发现并命名圆锥曲线的故事. 在双曲线和抛物线的新授课教学中，教师引导学生类比椭圆的研究方法展开对双曲线和抛物线的研究. 基于已学内容，提出以下问题.

问题1：圆锥曲线具体包括什么？它们为什么统称为圆锥曲线？

问题2：新授课中，我们是用什么方法对双曲线和抛物线进行探究的？

【设计意图】创设熟悉情境，使学生自然融入课堂，自然引出课题，同时对学生进行数学文化和科学精神的熏陶.

2. 自主复习提纲

教师在课前给出复习提纲，引导学生基于复习任务对相关内容展开自主复习.

阅读教材（包括阅读材料），思考并完成以下任务.

（1）简述椭圆、双曲线和抛物线的主要内容.

（2）简述椭圆、双曲线和抛物线各自采用的研究方法.

（3）简述椭圆、双曲线和抛物线在研究方法上的共同点.

（4）简述圆锥曲线和直线与圆在研究方法上的共性.

（5）简述解析几何问题研究的基本思想.

【设计意图】复习是学习中非常重要的一个环节，自学是一种非常重要的能力. 让学生在课前试着完成五个前置任务，指导学生进行课前自主复习，进而有效提高学生的自学能力. 课中再次展示，使学生更加明晰本节课的研究内容和研究过程.

3. 知识回顾总结

师生活动1：学生上台展示前置任务（1）的学习成果，师生共同点评.

预设评价：若展示学生出现知识性错误，教师和其他学生要立即纠正；若学生所展示的内容有遗漏或者有重复，教师和其他学生进行及时补充或删减. 学生展示后，教师可以从展示内容、书写卷面、展示状态、语言表达、临场反应等多种角度挖掘学生的优点，给予表扬和鼓励.

【设计意图】让学生再次熟悉椭圆、双曲线和抛物线的主要内容，为接下来寻找圆锥曲线的共性作铺垫. 同时，给予学生表现的机会，增强学生的数学表达能力，提升学生学习数学的成就感和自信心.

通过对椭圆、双曲线和抛物线主要内容的回忆和巩固，学生不难发现椭圆、双曲线和抛物线在研究内容上具有共性，即新授课阶段分别学习了椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程和几何性质.

师生活动2：教师先带领学生寻找椭圆、双曲线和抛物线在定义上的共性，即曲线定义反映的是曲线的几何特征. 接着让学生思考椭圆、双曲线和抛物线的定义分别反映了对应曲线的什么几何特征. 在学生完成回答后，教师用课件展示椭圆、双曲线和抛物线的几何特征，并引导学生思考這些特征都与哪个几何要素有关系.

教师再次强调椭圆、双曲线和抛物线的特征都和距离有关系，而教材第82页的阅读材料“圆锥曲线的共同特征”中更是将圆锥曲线的定义统一为“到一个定点和一条定直线的距离”，顺势让学生联想统一整齐的事物会给人以美的感受，而圆锥曲线的统一定义则反映了数学的统一美.

师生活动3：教师带领学生寻找椭圆、双曲线和抛物线标准方程的共性，学生容易发现椭圆、双曲线和抛物线的标准方程都是二元二次方程. 教师继续引导学生思考基于圆锥曲线标准方程的特征能提出什么问题，进而向学生简单介绍极坐标系下圆锥曲线具有的统一方程.

师生活动4：教师带领学生寻找椭圆、双曲线和抛物线在简单几何性质上的共性，学生完成表1的填写，发现椭圆、双曲线和抛物线在简单几何性质上的共性是研究的主要性质都是范围、对称性、顶点和离心率. 教师进一步引导学生回忆通过方程得出曲线的范围、对称性、顶点和图形的方法（函数法）.

函数法即先限定方程中的变量x，y均是正数，再对方程变形得出y关于x的函数，进而用函数知识得出函数图形，从而得出方程对应的第一象限的曲线，再根据曲线的对称性，得出完整的曲线图形. 这部分是学生的薄弱点，需要对学生进行强化巩固，同时让学生进一步感受数学知识之间的联系美.

【设计意图】在回顾椭圆、双曲线和抛物线主要内容的基础上，引领学生不断探寻椭圆、双曲线和抛物线在研究内容上的共性. 不断深入、提炼，激发学生思考，从而培养学生的理性思维和对数学的内在兴趣，引领学生感悟数学之美.

4. 方法归纳概括

师生活动5：学生上台展示椭圆、双曲线和抛物线各自采用的研究方法及研究方法上的共同点. 在学生展示后，教师多角度地对学生进行表扬性、激励性和鼓励性评价.

上述过程，使学生对代数表达有了更深刻的理解和感悟. 教师进一步指明代数表达的重要性——代数表达是把几何语言翻译为代数语言，而正因为有文学语言的翻译，才让世界更了解我们中国灿烂辉煌的文化，也正因为有数学语言的翻译，才让人们更深刻地认识了自然规律，促进了科技的发展.

【设计意图】引领学生参与提炼圆锥曲线研究方法的过程，复盘研究方法中的代数表达，促进学生对研究方法更深层的理解，促进学生数学思维的提升，发展学生逻辑推理、数学抽象、直观想象等素养，渗透文化自信和数学自信，体现数学的育人价值.

问题3：在圆锥曲线之前，我们学习了什么重要的平面曲线？

问题4：直线与圆在研究方法上与圆锥曲线有什么共性？

【设计意图】通过问题3和问题4，引导学生得出直线、圆和圆锥曲线在研究方法上的共性，即通过合理建立平面直角坐标系，得出几何图形的代数表达，再通过分析推断几何性质. 促使学生思考上述研究方法更简练的表达方式，进而提炼出“形—数—形”的研究方法.

在“形—数—形”的研究中，前面的“形”代表研究的起点是几何图形，后面的“形”代表研究的终点是图形的性质，而中间的“数”代表了用代数方法研究几何问题的研究方法，也就是解析几何的基本思想. 而能使用“数”的前提是建立平面直角坐标系，把点用坐标进行表示，进而带领学生再次了解笛卡儿的主要事迹，了解并感受笛卡儿发明坐标系、创立解析几何、开创数学新纪元的伟大贡献和不断追求数学真理、勇于探索的科学精神.

【设计意图】带领学生经历“把书读厚再把书读薄”的过程，帮助学生学习不断总结节与节之间、章与章之间共性的复习方法，建立知识体系，提炼通性通法，使学生积累数学学习经验，发展数学思维，并感悟数学智慧、数学美和数学精神.

5. 探究解决问题

【设计意图】以卡西尼卵形线为背景，设计学生没见过但又感觉有些熟悉的例题，让学生运用解析几何的思想方法解决一道背景丰富、新颖且具有挑战性的题目，培养学生的数学思维和科学精神，提升学生的数学能力，发展学生的数学运算和逻辑推理素养，同时增加学生的数学文化储备，激发学生的数学学习兴趣.

6. 课堂学习小结

7. 课后作业布置

【设计意图】设置可供选择的作业题目，让不同层次学生得到锻炼，获得学习数学的成就感；设置对比性题目，让学生再次感受椭圆、双曲线和抛物线的共性和个性，让学生课后继续在思维方法上有深入研究．

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.