基于问题驱动的单元起始课教学设计

卓忠越　高菲

摘  要：以问题驱动为主要策略，预设问题主线，通过对随机现象的分析构建研究随机现象的路径并抽象概率研究的对象. 通过复习初中知识，发现重构随机事件概念的必要性. 围绕抽象核心概念随机事件，通过系列探究对比活动，巩固有限样本空间在整个概率单元学习中的重要地位.

关键词：有限样本空间；随机事件；问题驱动

本节课是人教A版《普通高中教科书·数学》必修第二册（以下统称“教材”）第十章“概率”单元的起始课，遵循学生的已有知识结构和认知规律，着眼于整体大单元教学目标，采用基于情境和问题导向的互动式、启发式和探究式课堂教学方式，通过独立思考、自主探究与合作交流相结合，培养学生理性思考、敢于质疑、把握本质的学习习惯，渗透归纳类比、数学抽象、模型转化等思想方法，逐步培养学生的数学抽象和逻辑推理素养.

一、教学内容解析

概率论是研究随机现象规律的数学分支，为人们提供了从不确定角度认识客观世界的思维模式和解决问题的方法. 概率与统计是高中数学内容的四大主线之一，概率课程承担的主要育人任务是培养学生分析随机现象的能力. 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》和人教A版《普通高中教科书·数学》，基于概率板块的内容，明确本章的知识主线如图1所示.

“概率”内容的教学旨在培养学生的主数学抽象、逻辑推理、数据分析和数学运算素养. 本节课是“概率”单元的起始课，立足单元整体教学的需要. 一是需要通过带领学生认识随机现象，明确通过随机试验将研究对象转化为随机事件的技术路线；二是重视核心概念“随机事件”的数学抽象和“样本空间”的基础地位，如果核心概念理解不深刻，样本空间写不准确，将影响整个单元的学习.

基于以上分析，确定本节课的教学重点：样本点、有限样本空间、随机事件等概念及相互关系；写出恰当的样本空间并表示随机事件.

二、教学目标设置

1. 教学目标

本节课的教学目标设置如下.

（1）通过观察不同的随机现象，了解随机现象的共同特征，发展抽象概括能力.

（2）经历样本点、样本空间、随机事件概念的生成过程，理解随机事件与样本点和有限样本空间的关系，发展数学抽象和逻辑推理素养.

（3）通过探究对比，能用准确的数学语言表示不同试验的样本空间和随机事件，体会数学抽象、模型转化、归纳类比的数学思想.

2. 目标解析

达成目标（1）的标志：结合初中所学，能举出生活中概率研究对象的例子；结合两个情境，抽象随机现象的共同特征，体会随机思想，明确研究对象.

达成目标（2）的标志：经历发现初中对随机事件刻画局限性的过程，理解用集合语言描述随机事件的合理性和必要性. 结合具体实例和自主阅读教材，获得样本点、样本空间、随机事件的准确概念，绘制反映三者关系的Venn图，认识随机事件与样本点和有限样本空间的结构关系.

达成目标（3）的标志：经历对不同情境的样本空间和随机事件进行准确表达的探究过程，体会从实物到数字化的逐级数学抽象过程，能够结合树状图分析样本点个数，能够用恰当的集合语言准确表示常见的样本空间和随机事件.

三、学生学情分析

在本节课的内容之前，学生已经在初中阶段学习了“概率初步”内容. 课前对授课学生进行了一次初中概率知识学情调查. 从调查结果来看，近三分之一的学生对随机事件和概率的概念叙述不准确，但是对相关概念的直观判断和简单古典概率的计算，正确率在90%以上. 结果表明：学生在经历初中阶段的学习后，对随机事件和概率的认识是感性的直观描述，能较好地运用树状图求简单随机事件的概率. 而高中阶段要对随机事件和概率进行理性的数学刻画.

本节课将用集合语言对“随机事件”的概念进行重构，是学生首次接触. 在这样一个精确化的过程中，学生的主要疑问可能是：为什么要引入集合语言来表示？可能面临的主要困难是：如何用集合语言来恰当表示实际问题？对此，教师需要精心设计问题串驱动学生思考，合理搭设探究阶梯和路径，采用独立思考与交流分享、探究与互动并用的教学方式，引导学生发现问题直至解决问题.

基于以上分析，确定本节课的教学难点：帮助学生用适当的符号和形式，恰当书写试验的样本空间和表示随机事件.

四、教学策略分析

1.“先行组织者”策略

在课前主要设计两个环节：一是借助学情调查问卷，让学生巩固初中所学概率知识，充当后续学习的比较性组织者；二是课前给学生推送单元导学材料，让学生了解概率的发展历史和生活中的概率案例等，帮助学生感受概率研究的有趣和有用，激發学生的学习兴趣.

2.“问题驱动”策略

本节课以“研究什么—用什么刻画—如何刻画”为主线设置四个主线问题，结合不同实例，引导学生不断发现问题并解决问题.

3.“最近发展区”策略

选择学生初中接触过的问题切入，立足初中的概率知识，贴近学生思维的最近发展区；通过创设合适的探究过程和递进的启发性问题，让学生认识到引入集合语言刻画随机事件的合理性和必要性，并逐步获得“用适当的符号和形式恰当书写试验的样本空间和表示随机事件”的方法，培养学生的数学抽象和逻辑推理素养.

4.“跨学科融合”策略

设计“知识巩固”“数学实验”“跨学科应用”三级课后作业，确保学生在掌握数学基础知识的同时，能运用所学探求现象背后的本质，培养学生的科学精神. 同时，帮助学生实现跨学科融合，运用所学知识解决生活实际问题.

五、教学过程设计

1. 创设情境，引入课题

问题1：概率论的研究对象有什么共同特征？

师：结合课前的导学材料和初中知识，概率的研究对象是什么？

师生活动：师生共同列举生活中常见的、丰富的概率问题实例，并归纳它们的共同特征.

【设计意图】回顾初中所学概率知识，感受概率研究源于生活，引导学生思考现象背后的共同特征，把握事物的本质.

师：抛一次硬币，朝上的面的结果有几种可能？结果确定吗？如果重复抛100次，并统计硬币朝上的面的结果，又会出现什么现象？

师生活动：教师播放一段由GeoGebra软件编程制作的抛硬币100次模拟试验动画（如图2），学生从中体会“一次试验结果具有偶然性”“多次重复试验结果的频率具有稳定性”.

师：我们再来看一个更为有趣的情境.

师生活动：教师介绍随机数与随机点构建的规则，并引导学生思考单个点的产生是否具有随机性以及大量点的分布是否具有规律性. 教师播放一段由Matlab软件编程制作的3 000余个随机点分布规律的视频，其中随机点的分布具有明显的规律性，呈著名的谢尔宾斯基三角形的形状（如图3）. 引导学生共同归纳、总结以上现象的共同特征：就一次观测而言出现哪种结果具有偶然性，但是在大量重复观测下各个结果出现的频率具有稳定性，我们称之为随机现象.

师：概率是一门非常年轻的学科，通过阅读课前导学资料，我们大致了解了概率的发展历史，感受到初中阶段我们对随机事件的认识更多的是一些感性认识. 高中阶段，我们将结合实例，从理性的角度准确刻画和研究随机现象.

教师引出本节课的课题——有限样本空间与随机事件.

【设计意图】分别选择经典和有趣的情境，引导学生通过归纳获得随机现象的共同特征，激发学生进一步研究随机现象的好奇心，帮助学生体会随机思想，明确研究对象.

2. 发现问题，引出集合

问题2：为什么要引入集合来描述随机事件？

师：随机现象的频率稳定性需要基于大量重复观测，所以对随机现象进行重复试验和观察是必需的. 因此我们定义随机试验的概念：为研究某种随机现象的规律，我们把对随机现象的实现和同时对它的观察，称为随机试验.

师生活动：结合实例，对随机试验进行解析，明确试验分为现象的实现和结果的观察两个步骤.

【设计意图】通过随机试验内涵的解释将研究对象转化为试验结果.

师：完成一个试验后，最关心的是试验结果. 不妨来看对学生初中阶段学习过的一个例子的改编.

例  掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数. 掷一次骰子，观察骰子向上的一面. 思考以下問题：

（1）可能出现哪些点数？

（2）出现的点数会是奇数吗？

（3）出现的点数会是3的倍数吗？

（4）出现的点数会是3吗？

（5）出现的点数会大于0吗？

（6）出现的点数会是7吗？

师生活动：教师让学生回答以上问题，并根据事件发生的可能性，分别标记为随机事件、必然事件和不可能事件.

【设计意图】从初中学习过的问题切入，让学生回顾初中的概率知识，贴近学生思维的最近发展区，层层递进.

追问1：能否用一个恰当的数学形式，更加简洁地把以上事件表示出来？不妨以“出现的点数会是奇数吗？”为例，出现的点数是奇数包含哪些结果？

师生活动：学生可以逐一写出问题（1） ～ （5）对应事件包含的结果情况，但写不出问题（6）对应事件包含的结果情况.

追问2：没有结果，如何表示？

师生活动：学生自然想到用空集[?]来表示，并将以上结果都统一为集合的形式，实现将每个事件都与一个集合对应起来.

【设计意图】以表示每个事件对应的结果为契机，诱发“没有结果如何表示”的困惑. 借助用空集表示“没有结果”自然引出统一用集合形式来表示每个事件，让学生充分感受引入集合表示随机事件的合理性和必要性.

3. 依托实例，建构概念

问题3：如何用集合定义随机事件？

追问1：集合都以什么对象作为元素？把所有可能的元素放一起构成的全集是什么？

师生活动：教师引导学生抽象出集合以每次试验的结果作为元素，把所有可能的结果放一起构成的全集是整个事件. 并结合该实例，分别定义试验的样本点ω和样本空间 Ω 的概念.

追问2：问题（1） ～ （6）中的每个事件分别对应一个集合，它们与全集的关系是什么？

师生活动：教师引导学生把必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形，从而获得“所有随机事件都是样本空间 Ω 的一个子集”的认知.

【设计意图】以实例为载体，分别引入样本点、样本空间和随机事件的集合化概念，避免概念过于抽象，便于学生理解和厘清关系.

4. 研读教材，建构关系

问题4：样本点、样本空间与随机事件之间有何关系？

师：将以上概念推广到一般，为加深理解，厘清它们之间的关系，请同学们结合刚才的实例，自主研读教材第228 ～ 230页的内容，提取“样本点、样本空间、有限样本空间、随机事件、事件发生、基本事件、必然事件、不可能事件”等概念集合化的准确定义，并用Venn图将样本点、样本空间与随机事件、基本事件等的关系表示出来.

师生活动：学生自主研读，获取相关概念的准确定义，并依据对概念的理解在课堂任务单上用Venn图表示它们之间的关系. 教师进行巡视和指导，并引导学生共同完成不同概念间相互关系的建构，如图4所示.

【设计意图】合理使用教材，自主研读，培养学生通过自主阅读获取信息的能力. 同时，把教学的重心置于引导学生加深对概念的理解和准确辨析概念之间的关系.

5. 探究对比，准确表示

问题5：如何恰当地表示随机试验的样本空间和随机事件？

探究1：对比分析，不同的试验背景为什么对应相同的样本空间？

试验1：足球比赛的开球权是由主裁判“抛硬币”决定的. 在一场足球比赛开赛前，主裁判抛掷一枚专用的硬币，观察它落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.

师生活动：教师引导学生分析这个试验的实现和结果，思考如何表示样本空间. 学生独立思考，教师巡视指导，并挑选不同的写法代表进行展示，引导学生分享交流. 在大部分学生用文字进行抽象表示的基础上，教师启发学生思考是否可以将其进一步抽象为更简洁的形式.

师生活动：学生提出还可以用字母、数字、符号等形式来进行抽象表示. 教师指导学生规范书写，并特别强调在用字母和数字形式表示时要交代字母和数字的含义. 教师总结并提供四种不同抽象程度的写法，引导学生体验由实物逐步文字化、字母化和数字化的数学抽象过程，并特别强调数字化表示的重要性和实用性.

方法1：Ω₁用图片表示，Ω₁={正面的图片，反面的图片}

方法2：Ω₁={正面，反面}.

方法3：设用z表示“正面”，用 f 表示“反面”，则Ω₁={z，f}.

方法4：设用1表示“正面”，用0表示“反面”，则Ω₁={1，0}.

【设计意图】通过学生独立完成与交流分享相结合的方式，培养学生冷静思考的学习习惯，并及时进行评价反馈. 通过逐步文字化、符号化和数字化表示随机试验结果的过程，培养学生的理性精神，发展学生的数学抽象素养.

试验2：小明正在做一项“生男生女是否真的等可能”的统计调查，他随机选择一个独生子女家庭，观察其孩子的性别，试写出该试验的样本空间.

师：这个试验是否也可以用数字0，1来写出其样本空间？如果可以，在任务单上写出来.

师生活动：学生独立思考后，表示可以写出与Ω₁={1，0}完全相同的样本空间，教师巡视并进行评价反馈.

追问1：不同的试验背景，为什么能写出相同的样本空间？

师生活动：师生共同探讨，总结发现这两个试验的结果个数相同，都只有两个结果.

追问2：你还能举出生活中可以用0，1来表示的随机试验的例子吗？

师生活动：学生通过大量举例，真切感受不同的试验背景，经过适当的数学抽象，样本空间都可以用0，1来表示，就可以把它们转化為相同的试验模型来解决问题.

【设计意图】通过对比不同的随机试验背景却可以写出相同的样本空间建立相同的试验模型，渗透模型转化的思想方法.

探究2：对比分析，相同的试验背景为什么可以写出不同的样本空间？

试验1：抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.

师：分析试验，有多少种可能的基本结果？可以用什么样的形式来表示两枚硬币的结果？

师生活动：学生结合树状图、列表等方式分析试验的基本结果，并采用适当的形式写出样本空间. 教师巡视并指导，挑选不同的写法代表进行展示，引导学生分享交流.

预设学生主要有两种不同的表示方法：第一种，把抛掷两枚硬币看成先抛一枚再抛第二枚，并用1表示“正面”，0表示“反面”，样本空间为Ω₁={1，1， 1，0， 0，1， 0，0}；第二种，不区分硬币，以观察落地时朝上的面的情况为目的，样本空间为Ω₂={正正，正反，反反}.

师：在第一种表示中，为表示两枚硬币的结果，我们可以用坐标形式的有序数对x₁，x₂来表示. 依此类推，要表示n枚硬币的结果，我们可以用n维坐标形式的有序数对x₁，x₂，…，x_n来表示.

追问1：第二种表示方法可以吗？如果可以，为什么相同的试验却写出了不同的样本空间？

师生活动：引发学生思考，发现因为观察角度和目的不同导致写出了不同的样本空间.

【设计意图】通过增加硬币枚数，引导学生结合树状图、列表等方式分析复杂的随机试验结果，并用n维坐标形式的有序数对来表示n维样本点；通过分享交流不同的样本空间，发现明确试验的观察角度和目的，对写出准确的样本空间至关重要.

试验2：抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面为正面的枚数，写出试验的样本空间.

师：两个试验背景相同，但观察的角度和目的不相同.

师生活动：学生在试验1的基础上，容易写出样本空间Ω₃={2，1，0}.

追问2：相同的试验背景，为什么写出不同的样本空间？

师生活动：通过对比、分析，师生共同总结出对于相同的试验背景，基于不同的观察目的，可能写出不同的样本空间.

【设计意图】通过对比试验，强调明确试验的观察角度和目的，对写出准确的样本空间至关重要.

6. 应用巩固，引出路线

问题6：是否可以类比集合的关系和运算来明确研究随机事件的学习路线？

练习：如图5，一个电路中有A，B，C三个电路元件，每个元件可能正常，也可能失效. 把这个电路是否为通路看成一个随机现象，对整个电路进行一次检查，观察各元件是否正常.

师：写出试验的样本空间并用集合表示事件“恰好两个元件正常”“电路是通路”“电路是断路”.

师生活动：利用前面两个探究得到的成果，解决更复杂的实际问题. 教师引导学生分析试验的所有可能结果，选择合适的符号形式，按要求规范地写出样本空间；引导学生分析随机事件与样本点的对应关系，并用集合表示出来.

追问：对比分析事件“电路是通路”与事件“电路是断路”，两者有何关系？

师生活动：教师引导学生分别从生活角度和集合角度分析这两个事件的关系，发现在生活中是相对的，从集合的角度是互补的，从而引出“互补的两个集合对应两个相互对立的事件”的猜想，由此引出下节课将通过研究集合的运算来研究事件之间的关系.

【设计意图】通过较复杂的现实情境巩固所学，检测学生能否准确写出试验的样本空间和随机事件，同时借助分析事件关系与集合运算的对应关系，引出后续研究内容，明晰整体单元学习主线.

7. 回顾总结，素养提升

（1）知识路径回顾.

教师带领学生回顾本节课知识获得的路径，再次明确知识生成的主线，明确本节课学习的重点和难点. 具体知识路径为“随机现象—随机试验—试验结果—集合表示（样本点、样本空间、随机事件、事件发生、事件关系等）—正确表示试验的样本空间、随机事件”.

（2）思想方法总结.

教师引导学生总结本节课主要用到如下数学思想方法：由特殊到一般的归纳、转化思想；由生活化到符号化、数字化的数学抽象思想；由一个问题到一类问题的模型转化思想.

（3）素养能力提升.

教师引导学生总结发现，通过本节课的学习，经历用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考实际问题、用数学的语言表达生活现象的过程，不仅收获了数学知识和数学方法，更获得了解决生活实际问题的能力.

【设计意图】对知识、方法、技能进行总结、反思和升华，促进学生对本节课所学知识内容和思想方法的理解与认识.

8. 分级作业，学以致用

（1）知识巩固.

任务：完成教材第231页练习的第1 ～ 3题.

目的：练习准确书写随机试验的样本空间，并用集合准确表示随机事件.

（2）数学实验.

任务：用抛骰子的方式完成謝尔宾斯基三角形的产生.

目的：讨论分析其规律性产生的原因.

（3）跨学科应用.

任务：查阅资料或走访气象局专家.

目的：深入了解天气预报中“明天下雨的概率为70%”的预报原理和意义.

【设计意图】设计三级课后作业，确保学生在掌握数学基础知识的同时，能运用所学探求现象背后的本质，培养学生理性的科学精神；能跨学科融合，运用所学解决生活实际问题.

六、课堂板书设计

基于本节课的实际，采用提纲式与对比式相结合的形式进行板书设计（如图6）. 既有利于呈现核心概念，又有利于呈现初中阶段和高中阶段所学随机事件概念的区别与联系.

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［2］史宁中，王尚志.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》解读［M］. 北京：高等教育出版社，2020.

［3］程海奎，章建跃. 用样本空间刻画随机现象定义随机事件的概率发展学生的随机观念［J］. 数学通报，2021，60（5）：1-9，17.