立足内核本质 设计“关键问题” 促进素养提升——《加法交换律和乘法交换律》教学设计

文|王 江

之前在加法意义和加法验算的学习中，学生对于加法“可交换”已经有了很多感性的认识，乘法亦是如此。一节内容简单、学生经验丰富的数学课，如果依然从常规教学思路“提出猜想——举例验证——得出结构——应用规律”出发，总感觉没有触碰到概念的本质内核，学生的思维没有进阶，甚至，可以说这样的教学思路停滞在了十年前。

教学中，可以尝试提出更具思维含量和挑战性的“关键问题”，给予学生一定的小工具支持，使学生从不同层面、多种角度表征加法交换律，从而帮助学生从字面上的“可交换”，逐步迈向利用多层次的对话深化学生对“可交换”的本质理解，即：在交换律中，“序”的改变并不影响最终结果。过程中，结构关联的视角、“猜想—验证”的数学学习方法和经验的再积累，都为学生未来的学习赋能。

【教学过程】

一、呈现“关键问题”，引发独立思考

师：老师带来了一个有趣的语文作品，叫“颠倒歌”。知道这首作品颠倒前的顺序吗？多快乐的一首颠倒歌！语文学科里，这么一颠倒、一交换，文字立马有了更大的魅力。数学里的交换会不会也有别样的精彩呢？今天我们就来学习数学里的交换。

师：说起交换，在咱们的数学学习里不止一两次了，让我们一起来看一看。一年级数的分与合、一年级一图两式、二年级的验算（课件呈现教材图）……这些学习的经历，让小明产生了一个大胆的猜想：“任意两个数相加，交换它们的位置，和不变。”你觉得小明的猜想正确吗？

师：不着急下结论，为了方便同学们验证这个猜想，王老师给每个小组准备了四个学习材料，我们来认真地看一看。材料1 举例子，材料2 面积图，材料3 集合图，材料4 红色木条、蓝色木条。（材料2、3、4 课件均有交换位置的动画）

师：我们来看小组合作要求。

1.选一选：组长组织，每人选择一个学习材料。2.想一想：先独立思考，如有需要，可以动笔简要记录。3.说一说：在小组里认真有序交流。

师：特别提醒第二点，想一想很重要，有思考才有高质量的小组交流，所以，老师建议分好学习材料，静静独立思考，再在小组里好好交流一下！

【设计意图：教师通过“关键问题”唤醒了学生对于两个加数“可交换”的经验，本质上这是一种联系的视角。此外，教师放手让学生借助四个学习材料展开探究活动，教师精心设置的这四个学习材料分别对应数、形、指向“离散量”的集合圈圆片图以及指向“连续量”的小棒长度图。通俗讲，圆片图是“离散”的，它更多指向“整数”，而小棒图是“连续”的，它指向“任何数”。可以预见的是，不同层次的学习材料将会成为后续生生、师生对话的重要资源。】

二、交流反思，让思维相互碰撞

1.尝试举例，初步验证

生：我选择举例子的方法。

师：举例验证是个很棒的路径。但我们能不能通过这几个例子就下结论？

生：还需要举出更多例子，如25+13=38，13+25=38；100+200=300，200+100=300，所以我觉得是对的。

师：第二位同学的举例和第一位同学比，你更喜欢谁的？

生：我喜欢第二位同学的，因为他举例的时候能够考虑到不同的类别。

师：其他小组还有没有不同类的例子？

（学生汇报略）

师：老师特别关心的是有没有同学举出了反例？

师：看来举例子的时候，不仅要考虑不同类别，还要考虑反例的问题。

师：你能把这两个等式合并成一道算式吗？

（学生举例，留下一组等式）

师：有没有同学担心万一第1000 个例子是反例呢？没关系，我们继续借助其他学习材料来交流。

2.多维验证，深化理解

生：我选择了面积图。我觉得长方形在前、在后的顺序不重要，合起来结果都是整个大长方形的面积。

生：我选择了集合图。我也觉得红色在前、在后的顺序不重要，我们都是在算这两个部分的总和。

生：我选择了红、蓝小棒图。我觉得蓝小棒在前、在后都无所谓，反正都是在算红、蓝小棒的长度和。

师：数学学习到这里是不够的，真正厉害的同学还能从四个学习材料中找到共同的地方，你能找到吗？

生：两个部分，它们交换位置再合起来，结果是不变的。

师：学习到这里，想问大家，小明的猜想正确吗？（正确）现在你还有前面例子举不完的担心吗？有没有同学知道，这个猜想的另外一个专属名字？（加法交换律）

师：刚才同学们写了这么多算式，有没有同学能够用一道算式把它们都表示出来？（学生回答略）我们通常用a+b=b+a 来表示。

【设计意图：学生借助教师给予的学习材料，能够从不同层面、多种角度尝试验证加法交换律，从而实现深度理解。在这过程中力求实现四个层次的对话：1.能用面积图、集合图、小棒图验证、解释加法交换律；2.感悟不论是整数、分数还是小数，都满足加法交换律；3.用没有具体数据的例子也能说明，因为是“合并”，与谁前谁后位置的改变没有关系；4.感受字母表示的代表性和一般性。】

3.整体建构，深化认知

师：回顾一下，我们根据一个猜想，用不同的方法进行了验证，最后得到了这个结论。学习不要止步于此，你还有没有新的猜想？

生：有没有减法交换律、除法交换律和乘法交换律呢？

师：要为大家点赞。每人至少选择一个你感兴趣的猜想展开验证，独立思考，也可以简单记录下。

生：我觉得没有减法交换律。10-7=3，7-10 却不够了。

生：我反对，5-5=5-5，8-8=8-8，所以我觉得有。

师：刚才我们讨论加法交换律的时候，你们允许反例的出现吗？那怎么现在就允许了呢？

生：我觉得减法没有交换律，只要找到一个反例，就可以推翻它了。

师：对！验证结论过程中，只要举出一个不符合结论的例子——反例，就可以说这个结论不成立。

生：除法也没有交换律。12÷2=6，2÷12 肯定小于1 了。

生：我觉得乘法有交换律。我举了很多例子，都是成立的。

师：大家有没有举出一个反例？

（学生摇头）

师：同学们，计算小方块的总数（如下图），你怎么列式？

师：横着看，几个几？竖着看呢？3 乘5、5 乘3，它本质上算的都是这里方块的个数，只是观察的视角不同。所以，乘法交换律这个猜想是正确的！

师：实际上，乘法交换律也早就陪着我们学习了（如下图）。

师：同学们，今天我们一起学习了交换律。我们发现：通过交换，它可以改变两个部分的顺序，可是两部分的总量是不变的。在今天的学习中，我们发现，顺序并不影响结果。（完成板书，如下图）

【设计意图：本节课没有满足于加法交换律的学习，而是在此基础上，抛出了第二个“关键问题”：乘法、减法、除法有交换律吗？引导学生猜想、举例验证，积累“猜想—验证”的数学学习方法和经验，学会用举反例的方法否定错误的猜想，数学理性思维表现得淋漓尽致。此外，方块计数的图片，学生可以从乘法的意义理解，也可以从面积模型、几何直观的角度理解，有助于学生将它推广到更一般的情形：ab=ba，课堂里没有完全“点破”，但“意图”已经蕴含其中。板书的设计，也向内核本质更近了一步，即：交换两个部分，“序”改变了，但“序”的改变并不影响结果的改变，真正做到了让简单的知识不简单，学习力悄然提升。】

三、拓展延伸，拓展思维边界

下面的算式中，你觉得哪些可以填到横线上？

25+47=______

A.74+25 B.47+25

C.24+48 D.27+45

生：我觉得B 就是我们今天学习的交换律。

生：我觉得还可以选C。25 挪走一个给47，总数是不变的。

师：不算就能看出来，真厉害！这是加法的另一个规律。

生：我觉得也可以选择D。47移过去2 个给25，总数也不变。

生：我觉得不用计算，D 就是十位没动，个位进行了对调。

师：那这是交换律吗？确实不是，这个算式有一点复杂，它里面藏着交换律，但是等大家到了下学期，你会发现这里面还藏着新的加法运算律。

【设计意图：本节课没有呈现枯燥的、机械式的练习题，只留了一道题，通过这样的练习，实现“减负增效”，学生也在过程中明白除了“交换律”，还有其他的“运算律”。】

四、全课总结，回顾课堂学习历程

师：同学们，让我们回顾一下整节课。今天我们从已有的学习活动中，善于观察、形成猜想，然后，借助多元材料、小心验证，接着，变化条件、丰富猜想，最后，我们还进行了巩固练习、深化认知。希望未来的学习，同学们也能够和今天这样提出更多的猜想，不断寻找答案。