从数学的角度引领学生认识平行四边形——关于《平行四边形的认识》整体教学的思考与实践

文|方巧娟 楼蔚波

小学生判断两直线互相平行常常基于直觉，但对于四年级学生而言，其实有能力借助直角进行平行线的判定。那么，如何通过单元整合，整体视角建构，将判断两直线平行的判定方法分散教学落实，在不加重教师负担的前提下，让学生掌握判定两直线平行的定义推理方法，从而通过猜想验证认识平行四边形呢？笔者进行了如下探索。

一、问题思考：该怎样判定“两组对边平行”

（一）疑起：基于教材解读的困惑

四年级的学生是如何认识平行四边形的？笔者翻阅教材，发现教材通过列举生活中的实例引出平行四边形，然后通过提问“平行四边形的边有什么特点”呈现平行四边形的概念。

三年级时，我们通过猜想验证，从直观辨认到定量刻画理性地去认识长（正）方形，那么四年级《平行四边形的认识》怎样从直观辨识走向定量刻画呢？学生是如何说明两组对边平行的呢？笔者发现很多学生对于两组对边平行仍停留于直观辨识的层面，为什么不会定量刻画呢？笔者又细细翻阅了前面的教材内容，发现教材的编排中根本没有安排像模像样的验证两条直线互相平行的环节，对于概念的提及也仅凭肉眼与想象判定：在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条直线互相平行。但对于互相垂直的概念就有抓手可依，通过判定两条直线相交是否成90 度的直角即可。这说明教材给了学生定量刻画互相垂直的抓手，却没有教给学生定量刻画两直线互相平行的能力。除了直观辨识，需不需要定义推理来验证两直线互相平行呢？

（二）寻据：寻找定义判定的依据

1．《数学课程标准（2022年版）》表述的意图

首先，《数学课程标准（2022年版）》第一学段中对于《认识长（正）方形》的要求是这样的：通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征。而在第二学段关于认识平行四边形的描述是这样的：通过观察、操作，认识平行四边形、梯形。由此可见，学生对平行四边形的认识不应该只停留在直观辨识的层面，而应该从直观辨识走向定量刻画，让学生通过定义推理去认识平行四边形。

2．张奠宙先生观点描述

张奠宙教授的《“平行与垂直”的教学内涵与设想——基于教材编写的几点讨论》中指出：小学阶段，由于不谈平行公理，没有同位角概念，在尚未学习角度测量的情况下，平行线教学的目标只能是基于平行线的直觉，能借助直角进行平行线的判定。

综上所述，判定两直线互相平行有两个层面，一个是直观辨识，另一个是定义推理。其中“两平行线之间的距离处处相等”和“垂直于同一直线的两直线互相平行”是学生与生俱来的直觉，学生能够观测得到，也同样能够理解和掌握，所以笔者认为四年级学生学习《认识平行四边形》一课，除了直观辨认之外，学生是有学习相关定义推理能力的，并能验证平行四边形两组对边分别平行。

（三）意义：培养逻辑推理的载体

数学学习应该是严谨的，需要学生具备严密的逻辑推理能力。而学生认识图形也应符合学习进阶，一二年级的时候，学生对图形的认识仅停留在直观辨识的层面，但到了三四年级，学生对于图形认识就应提升到推理定义的层面。通过学习掌握判定两直线互相平行的定义方法，进而通过合理的逻辑推理判定两直线互相平行，这样的过程不仅让学生知道认识图形该具备的基本探索验证的方法，而且也能培养学生严密的逻辑思维，是培养学生推理能力的重要载体，对今后的学习具有深远的意义。

二、建构逻辑：如何基于教材展开定义判定方法的铺垫

在认识平行的时候，教材对“判定两直线互相平行”是呈现了一定的判定方法的，但是教材弱化了定义推理的落地生根，只有一些操作性的练习，所以教师往往容易忽略而导致判定方法的教学不扎实，甚至不揭示，使得判定方法一直处于欲言还休的状态。

那么，教学中我们怎么做整体的逻辑建构呢？首先思考教材中有哪些地方可以教学判定方法？如何教学？笔者经过对比分析，将几种适合四年级学生掌握的判定方法与教材整合，将具体教学分散在本单元各课学习中，整理如下：

（一）延长想象时，补充格子图判定方法

张奠宙教授指出：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行，只能作为直觉判定。所以，概念学习时，我们应该让学生明白，可以使用延长后不相交这一直觉来判断两直线是否平行，并且落实到操作中，将两条看上去不相交的直线延长，延长后再判断其位置关系。

但是，这样的判断方法有一定的局限性，这时需要我们引入格子图，引导学生一次次验证方向一致的直觉，同时体会和增强平行线间距离相等的直觉。

延长两直线再进行判断的方法，一方面降低目测难度，增加目测正确率，从而有效避免两线段长度不相等造成的视觉上的判断错误；另一方面促进平行线概念学习。

1.第57 页练习教学环节：

学生通过直观辨识得到第二组互相平行，第三组互相垂直。

教师追问：那你能确定吗？用什么方法确定的呢？

学生对于垂直可以验证是否90 度，但对于两直线互相平行一般只能通过延长想象的方法。

教师出示透明格子图加以验证。

小结：延长两条直线，若不相交，则两直线平行。延长时，用透明格子图验证两直线间距离是否相等，若相等，则两直线互相平行。

2.画出互相平行的直线

学生借助格子图或者点子图找出平行线或者画出平行线，必然能从直观辨识转向定量刻画去认识两直线互相平行，这种方式和直角三角尺比对直角的方式是一致的，但是由于两直线之间的距离是个变量，所以格子图验证有时候有一定的局限性。

（二）画长方形时，补充定义垂直于同一直线的两直线互相平行

教材中，在画长方形这一课并没有涉及平行线的知识，但其实，垂直于同一直线的两条直线互相平行。很多时候，垂直和平行共同存在于同一平面内，我们可以在引导学生画长方形时，通过画同一条直线的垂线的过程中，引导学生发现并理解这种判断两直线平行的方法——垂直于同一直线的两直线互相平行。垂直于同一直线的两直线由于方向相同，所以互相平行，这也是学生直觉发展的一个方面。

1.画一画，说一说

先画一条长10 厘米，再通过垂直画出两条宽8厘米，你发现了什么？

学生发现两条线一样长，且互相平行。

教师小结：垂直于同一条直线的两直线互相平行。

最后连接另一条长，你发现了什么？

学生发现两直线之间的距离相等，则两直线互相平行。

教师引导发现：至少要发现几条距离相等呢？引导学生发现至少画出两条垂直线段，如果一样长就两直线互相平行。

2.配套练习：

首先让学生发现，两根小棒是什么关系？（互相平行）

其次引导学生思考，如果要知道两直线是不是互相平行，我们可以画几条垂直线段？（画一条，看相交两个角是否都是直角）

教师小结：从其中一条直线上任取一点作另一条直线的垂线，如果这条垂线同时垂直于两条直线，则这两条直线互相平行。

通过一些课堂练习，不仅仅是从表象看见完成的结果，而且是引导学生深究为什么可以平行的定义，从而积累判定两直线互相平行的定义方法：同垂直于一条直线的两直线互相平行，方法是在两直线间画一条垂直线段，看是否同时垂直于两直线。

（三）体验距离相等时，补充定义两平行线间距离处处相等

教材中给出的材料是让学生在两条平行线间画垂线，使学生在画的过程中，通过测量活动，自主发现平行线间的距离相等这一特点。“做一做”给出的三组图都是经典实例，在激发学生学习兴趣的同时，加深学生对平行线间距离处处相等的认识。具体我们可以怎么落实呢？

1.画一画，说一说

首先，请学生任意画出几条垂直线段，量一量长度，说一说发现了什么？

其次，揭示学生的发现：这些垂直线段的长度都相等。

教师小结：两条平行线之间的距离处处相等。

2.配套练习

思考：怎样用我们发现的规律来验证两条直线是否互相平行呢？

学生提出画垂直线段，看是否相等。

教师引导，至少画几条就可以证明呢？

学生通过辩论，发现只要画两条垂直线段，看是不是一样长即可。

教师小结：在其中一条直线上任取两个点，作另一条直线的垂直线段，如果两条垂直线段长度相等，则两直线平行。

这个练习的落实，让学生认识到两平行线之间的距离处处相等这个判定定义，同时让学生知道判定平行的方法：在两直线之间画两条垂直线段，看这两条垂直线段长度是否相等。

总而言之，我们将这些判定的方法分散安排在单元学习之中，让学生清楚明白地掌握如何判定两直线平行的方法，这样为后续学习判定是不是平行四边形和梯形打下了扎实的基础。

三、改进教学：如何着眼整体视角推进平行四边形的认识

综上所述，学生到学习《认识平行四边形》一课时已经具备了哪些判定方法呢？首先，用格子图来判定；其次，通过画两条垂直线段看距离是否相等来判定（两平行线之间的距离处处相等）；第三种是通过画一条垂直线段，看是否和两条线互相垂直（垂直于同一直线的两直线互相平行）。有了判定的抓手，那么认识平行四边形的教学也就不再只借助直观判定了。具体我们可以怎样操作呢？

（一）借力格子图，回忆判定方法

格子图在学生的学习中一直占有举足轻重的地位，在学习图形面积、图形定位等教学中一直都会用到，关键原因是格子图是由一个一个小正方形密铺而成的，所以里面的平行与垂直的价值应该被得到充分的挖掘。

【案例分析】

一、复习长方形，回忆特征

出示图形：2 个平行四边形，1 个长方形。

回忆长方形特征：两组对边分别相等，4 个角都是直角。

补充长方形中线的位置关系特征。

提问：前段时间，我们认识了垂直与平行，你来看看长方形里面有这样的位置关系吗？（两组对边分别平行，四组邻边互相垂直）

引出格子图验证：放在格子图里看就更加清楚了。你看见平行了吗？看见垂直了吗？

提问：如果没有格子图，你还能看出来平行吗？

引出在同一平面内，两平行线之间的距离处处相等以及垂直于同一直线的两直线互相平行。

借助格子图对长方形特征的回顾，使学生明白了可以借助格子图来发现直线之间的关系，而且还能借助是否同时垂直和垂直线段距离相等来判定两直线是否平行。

二、猜想验证，沟通联系

学生在认识长方形和正方形的时候，是通过猜想验证来做的，那么现在认识平行四边形的时候应该有方法的顺延以及知识之间架构的关联，让学生对认识的图形更有整体感。

猜想验证，发现平行四边形的特征。

1.猜想平行四边形的特征

（1）如果拉动长方形框架，会变成什么图形？

（2）在拉动的过程中，这些特征里面什么变了？什么没变？你确定吗？

根据学生汇报形成板书：两组对边分别相等（可以确定，不需验证）；两组对边分别平行（位置发生改变，需要验证）；角变成了钝角和锐角（可以看见，也不需要验证）

小结：看来只需要验证两组对边是否平行就可以了。那么怎样来验证呢？

2.讨论出示验证方法

用格子图验证；用画垂直线段验证。

3.学生动手实践，并完成《探究单》

探究单

反馈交流：三组反馈，作品如下：（1）借助格子图发现平行；（2）画一条垂直线段，看是否同时垂直；（3）画两条垂直线段，看是否相等。

发现小结：通过今天的探究，我们发现平行四边形不仅两组对边分别相等，而且两组对边也是互相平行的，只是四个角的特征和长方形有点不同。

引出概念定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。

这个环节是本节课的主要教学环节，利用三种判定方法展开两直线是否互相平行的判定，学生在猜想的过程中充分借助了长方形的原特征，通过变形所得即可判定对边相等，问题只需集中判定是否两直线互相平行即可，此时对长方形和平行四边形的图形认识有了较为统一的整体感，而且在判定的过程中其实也是画高的过程，教学内容进行了充分整合，为学生认识平行四边形的高也做好了充分的铺垫，不需另起炉灶。

总之，在学习平行四边形时，教师引导学生用喜欢的方法来判断两组对边分别平行。在学习梯形时，学生同样可以用喜欢的方法来判断只有一组对边平行。经过实践，利用垂直来教会学生判定两直线互相平行是可行的，而且符合学生逻辑推理能力的培养和发展，教师的教学也更能体现整体性。