促进小学生“会用数学的思维思考现实世界”的教学策略研究

文|杨杰军

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）将课程总目标确定为“学生逐步会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界（简称“三会”）”。[1]与“三会”相关的完整表述中，都一致突出了“现实世界”的字眼，所以将“三会”简化为数学的眼光、数学的思维和数学的语言显然不够准确，没有突出数学与现实世界的联系。与“数学眼光”的练就和“数学语言”的精通相比，对“数学思维”的锻炼早已遍地开花，但是学习者仅具备“数学思维”并不意味着数学学习活动就可以止步不前了，只能算勉强达成了一半的目标，新时代数学教学的终极目标应该是促进学习者“会用数学的思维思考现实世界”。

一、“会用数学的思维思考现实世界”的内涵与特征

（一）“会用数学的思维思考现实世界”的内涵

1.建立数学与现实世界的联系

数学教育家弗赖登塔尔认为，知道数学与现实世界的“联系”，应作为排在第一位或最重要的数学素养。[2]这与2022年版课标反复在“三会”中强调“现实世界”具有异曲同工之妙。建立数学与现实世界的联系指的是体验并感悟数学概念的产生与发展过程，通过探究活动敏锐地察觉自然现象或现实情境背后所蕴含的客观数学规律，将数学“再发现”的完整过程亲身经历一遍。此过程的关键是对现实世界中的数量关系与空间形式进行“数学化”，经历“发现”“思考”“再发现”的探究过程。

2.感悟数学内部的逻辑体系

在建立数学与现实世界的联系的基础上，能够提出有意义的数学问题，得到数学的研究对象及其属性，进而逐步抽象出数学的基本概念，如出于计数和测量的需要，概括总结出整数、小数、分数的意义与性质。从纷繁复杂的现实世界中凝练出学科独有的概念后，数学就会相对独立地由内部关键问题的驱动展开一段较长时间的抽象与推理，形成独立的知识体系。为了感悟数学内部整体的逻辑体系，需要理解数学基本概念之间是如何联系起来的，富有逻辑性地解释或证明数学的基本方法与结论，分析、解决简单的典型数学问题。如感悟整数、小数、分数在概念本质上的一致性以及它们在进行加法、减法、乘法和除法运算过程中的一致性。

3.运用数学模型解决实际问题

数学独特的思维方式与应用途径通过“问题解决”的过程得以呈现，在真实情境中“用数学”能够有效反映数学思维的合理性、灵活性与创新性。因此，不仅需要理解数学与现实世界的联系，将自然语言转化为数学语言，构建数学内部的逻辑体系，提升抽象、推理和建模等思维能力，还要能够积极运用数学模型分析、解决现实世界中的实际问题，做到学以致用。在解决实际问题的过程中，促进对数学与现实世界如何联系的深入思考，增强应用意识。

基于以上分析，可以将“会用数学的思维思考现实世界”界定为个体在数学学习实践活动中能够发现并理解数学与现实世界的联系、感悟数学内部逻辑体系的构成、运用数学模型分析并解决实际问题以发挥数学的应用价值，同时形成勇于质疑发问的批判精神，养成重视论据、条理清晰的思维品质和求真求实的科学态度的素养表现。

（二）“会用数学的思维思考现实世界”的特征

1.善于从现实世界中抽象概括

数学抽象是针对现实世界具有数量关系和空间形式的客观材料进行特殊处理、归纳出共同的本质属性，用数学语言表述进而形成数学理论的过程。抽象思维在数学中无处不在，所有数学概念、公式、规律等的形成与推导，都要用到抽象概括，推理和模型建构都离不开抽象。[3]善于从现实世界中抽象概括意味着能够看透事物的本质，把繁杂的问题条理化、简约化，能够忽略具体的背景和实际内容，利用概念、符号、图形和关系去描述包括已经简洁化了的事物在内的某一类事物。

2.强于在数学体系中展开推理

推理是数学思维活动中最能反映数学独特思维价值的部分，包括合情推理、演绎推理和统计推理。推理在现实世界中应用广泛，与每个人的生活息息相关。强于在数学体系中展开推理说明不仅能够通过观察、比较、实验发现新问题，提出新猜想，归纳新结论，通过法则运用，对问题解决的过程作出合理解释，还能通过数据分析对未知事件发生的可能性作出预测。

3.乐于在现实问题中建立模型

模型是建立数学与外部世界联系的“桥梁”，数学模型是运用数学解决现实问题的一大利器，是对现实世界的各类信息进行适当地筛选和简化，通过缜密地推理和精确地运算，对相关的有效数据进行整理、分析、预测、决策和控制，经过真实问题的检验后，可以用于指导实践的工具。乐于在现实问题中建立模型意味着能够认识到现实生活中存在的大量问题都与数学紧密相联，知道数学模型可以用来解决一类问题，有意识地用数学的概念与方法构建模型以解决现实问题。

二、小学生“用数学的思维思考现实世界”存在的问题及原因分析

（一）小学生“用数学的思维思考现实世界”存在的问题

“会用数学的思维思考现实世界”不仅强调学习者需要具备数学思维，还突出了学习者必须能够运用数学思维解决现实世界中的真问题，而这离不开数学教学的引导与强化，少不了学生相应数学活动经验的积累。在当下的一线小学数学教学中，对“数学思维”的重视已经如日中天，各类新编试题层出不穷，学生的解题能力越来越强，但并不代表学生都具备“会用数学的思维思考现实世界”的素养，因为“用数学”需要在真实的应用场景展开，现行的纸笔测试不足以反映学生是否“会用数学的思维思考现实世界”。在小学阶段，学生“用数学的思维思考现实世界”存在的问题主要体现在以下三个方面：

1.难以从现实世界中进行抽象概括

以具体形象思维为主是小学生思维的基本特点，这与数学学科高度的抽象性存在一定矛盾，导致学生很难从现实世界中进行抽象概括。比如对分数概念的总结与理解，学生在确定单位“1”时也常常会出错，即使理解了一个计量单位、一个物体或多个物体组成的整体都可以看作单位“1”，但是在确定“一节课的时间是小时”中的单位“1”，以及解决“工程问题”中需要把工作总量看作单位“1”时，不少学生还是认为比较困难，对于“工作效率”概念的理解更是难上加难。

2.不擅长在知识体系中进行逻辑推理

数学知识体系不是一个个独立、零散的点，而是呈现出相互联结的网状结构，但是学生在数学学习中通常是以知识点为单位逐步积累，想要构建清晰、联系紧密、逻辑严谨的知识体系，需要依靠强大的推理思维。例如，学习平面图形的面积时，在归纳出长方形的面积计算公式后，利用转化的思想探索平行四边形的面积计算公式，接着通过类比，继续运用转化的策略推导三角形、梯形、圆的面积计算公式。对不少学生而言，要找出这五种平面图形的面积公式之间的联系并非易事，说明其不擅长运用数学思维在知识体系中进行逻辑推理。

3.很少在现实问题中建立模型

在现实问题中建立模型要求将一个问题的解决拓展为一类问题的解决，这需要不断地将现实问题转化为数学问题，再将通过观察、对比、猜想、验证得到的数学模型放到更多真实情境下的复杂问题之中去加以修正和完善。学生很少有机会针对实际问题开展一系列真实、完整的建模活动，难以体会建模的再创造性和实用性。例如，对于“火车过桥”这一经典问题，小学生能够套用公式解决给出火车长度、火车速度和桥的长度信息，求解过桥时间的问题，但是如果变换了情境，要求阅兵时方队通过检阅区所需的时间，学生就可能连问题都读不懂，更难以将方队长度、方队速度和检阅区的长度信息与公式中的字母相对应。

（二）小学生不“会用数学的思维思考现实世界”的原因分析

1.教学材料固化落后

践行新课程理念的教师在处理教学内容时，拘泥于教材、不敢突破教材的现象仍然较为普遍，而教材中的内容又难免存在局限性，无法反映现实生活的全貌，致使教学材料固化落后，不利于学生理解数学知识的本质并从现实世界中进行抽象概括。例如，学生在理解分数的意义时，需要抽象概括出平均分的对象、平均分的份数以及表示的份数这三个方面，进而建立单位“1”与分数单位的联系。教材例题中呈现的材料往往是看得到的、学生能够拿在手里进行平均分操作的具体物品，缺乏像“时间单位”“工作总量”等看不见、摸不着却又围绕在学生身边的事物。如果学生只能在动手操作的过程中解释清楚什么是分数，抽象思维的发展就会受到很大的限制，他们建立起来的数学与现实世界间的联系只能算是弱联系，难以成为可以用于思考现实世界的强联系。

2.教学方法固定单一

讲授法和问答法是小学数学课堂中常见的教学方法。不少教师对“自主探究、动手实验、合作交流”这类耗时费力的学习方式较为反感，甚至连多媒体的使用也是能省则省。学生在课上难以获得生动形象的直观体验，对逻辑严密的数学知识体系望而生畏，难以通过发展自身的推理能力感悟数学知识体系的逻辑结构，所掌握的数学知识往往零散无序，遇到综合情境不懂得灵活运用数学思维进行分析。例如，在教学“解决问题的策略——转化”这一课时，由于学生转化的方法各不相同，让学生动手剪拼再展示交流比较耗时，课前还需要准备很多材料，而要制作能呈现学生不同转化方法的动画也比较复杂，因而不少教师只让学生在书上涂画，再说一说转化的方法。没有动手操作、观察比较和互动评价，学生对转化策略的体验就变得浮浅。

3.实践活动机会有限

数学源于日常的实践活动，但一线数学教学却受到时间和空间的双重限制，缺少将数学思维运用到解决实践问题的机会。例如，当遇到“比快慢”的问题时，学生的第一想法往往是直接用路程除以时间的公式计算速度，但是大多数学生对“速度”的现实意义通常一知半解。缺少对现实世界中各种速度的体验活动，即便学生能将计算速度的公式背诵下来，面对各种相对复杂的相遇、追及情境等与速度相关的问题时仍会感觉束手无策。一方面是由于学生对速度概念的理解不够深入，缺少对路程、时间、速度模型的具体应用，另一方面是因为没能通过实践活动建立与相遇问题、追及问题相对应的模型。

4.学习评价倾向纸笔

评价方式是小学一线数学教学改革的指挥棒，用什么样的方式评价在很大程度上决定了用什么样的方式教学。纸笔测试对当下的小学生来说仍然比较普遍，导致学生更倾向于用“刷题”的方式提升数学成绩。大多数题目虽然对学生的数学思维有所考查，但是和现实世界的联系不够紧密，因为考题中的问题情境都是经过处理的，对现实生活中的无关信息进行了删减，大多是针对特定数学知识条目理解程度的考查，对于评判学生是否“会用数学的思维思考现实世界”的素养的信效度不高。

三、促进小学生“会用数学的思维思考现实世界”的教学策略

（一）充实丰富教学材料，助力学生从现实世界中抽象概括

想要促进学生从现实世界中抽象概括出研究的对象，以数学的基本概念为例，需要了解概念学习的心理过程。APOS 理论指出，学习者在学习数学概念时会主动地进行心理建构，这个建构过程包含活动阶段（Action）、过程阶段（Process）、对象阶段（Object）、图式阶段（Schema）四个阶段。在活动阶段，学习者通过外显性的活动（观察、操作等）将数学对象的直观背景纳入已有的知识结构中。然后是过程阶段，当多次进行操作活动后，学习者能通过反思将之前的活动内化为一种程序，并在大脑中实施程序。接着是对象阶段，通过上一阶段对活动的反思，学习者对概念有了一定的认识，能够经过同化或顺应进一步抽象出概念的本质，能用语言或符号对数学概念进行表征。最后是图示阶段，对前面三个阶段进行整合会形成新的认知图式，新图式能帮助学习者建立新概念与其他概念的区别与联系。[4]

根据APOS 理论可知，丰富的直观操作经验是学生进行抽象概括的基础，也是学生形成抽象思维的一种手段，反复多次的操作活动最终是为了脱离具体操作，使得学生逐渐发展出一定的抽象能力。因而教师在教学活动中不仅需要让学生尽可能多地接触与所学概念相关的具体事物，引导学生动手动脑，对具体事物反复多次操作，思考各个活动中的共性，获得对概念的直观体验，还要帮助学生积累无法动手操作的、只能在大脑中实施与概念相关程序的活动经验，促使学生达到“过程阶段”。这就需要教师在用教材教的基础上，充实丰富教学材料。以分数的概念教学为例，教师不仅需要让学生对一块蛋糕、一条线段、一堆圆片进行平均分，还要让学生尝试在头脑中想象如何对一个小时或一个文件所占的内存空间进行平均分，这样有利于学生建立数学与现实世界的强联系，从复杂的现实世界中准确抽象出分数的概念。

（二）优化更新教学方法，助力学生在知识体系中展开推理

在将现实问题转化为数学问题之后，需要在数学内部展开研究，丰富实用的数学知识由此产生。数学知识形成的庞大体系具有很强的逻辑性，许多基本概念、公式、思想方法之间相互联系，想要理解这些联系的本质，必须依赖于高水平的推理思维。将数学知识学懂学透、提高逻辑思维水平是应用数学知识解决现实问题的基础。数学教学决不应一味地强调动手，而应更加重视动脑。[5]2022年版课标在课程理念部分，积极倡导“创设情境”“自主探究”“合作交流”“动手实践”等能够引发学生主动思考的教学方法，并强调要将信息技术融入数学教学之中。一线数学教师应不断优化更新教学方法，多角度、多途径地帮助学生建立数学知识间的联系，促进学生在构建知识体系的过程中展开推理，增强逻辑思维。

例如，在学习长方形的面积计算公式之后，对于其他常见的平面图形，包括平行四边形、三角形、梯形和圆的面积公式的探索，教师需要为学生预留足够的同伴探究时间与空间，帮助学生积累通过剪拼进行转化的操作活动经验，同时也需要采用演示法，利用幻灯片中插入动画的功能生动直观地呈现转化的具体过程，引导学生领悟转化过程中的“变与不变”，在一次次的动手操作、动脑思索的过程中，学生对于面积公式的探索过程以及各个公式间的联系将会有更加深刻的体验与理解，有助于学生更好地建立图形与几何领域中面积公式的知识体系。

（三）设计开展实践活动，助力学生在现实问题中建立模型

现实生活中的问题常常不像教科书上的例题或习题一样简单，学生面对新的现实情境无法灵活运用数学思维解决问题是数学教育长期被批判的痛点。想要增强学生在现实问题中建立模型、有效解决实际问题的能力，需要教师不断设计开展综合实践活动，引导学生展开真实的、完整的、有意义的学习，为学生提供运用数学的思维思考现实世界的机会，那么学生就不会认为数学只是一堆写在书上的概念和公式，也不会再对“学了数学有什么用？”感到困惑。

例如，在学习《圆的周长》一课后，教师可以让学生在学校运动会中帮助裁判确定不同跑道的起跑线，引导学生经历实地测量、收集数据、计算内圈与外圈跑道的周长、整理数据、列表分析数据、确定常量与变量、发现规律进而简化计算公式、验证公式的全过程。促使学生发现原来在计算起跑线上运动员的距离时，只需知道每条跑道的宽度就能很快算出结果，鼓励学生构建出“同心圆情境中大圆的周长减去小圆的周长等于圆周率乘大圆与小圆间隔宽度的2 倍”的数学模型，同时引导学生反思建立模型的整个过程，进一步思考模型应用的范围，帮助学生积累运用数学的思维思考现实问题的成功体验。

（四）改进创新评价方式，助力学生在问题解决中发展素养

以问题解决能力为指向展开评价，是更快促进学生“会用数学的思维思考现实世界”的增速器。2022年版课标提倡建立多元的评价维度，指出了在评价过程中，不仅要关注学生全面而理性地分析问题、解决问题的能力，还要关注学生敏锐而机智地发现问题、提出问题的能力。这要求教师积极创新改进评价方式，采用课堂观察、活动报告、课后访谈、成长记录等多样化的评价方式全面、客观、科学地评价学生的数学学习过程，关注学生在问题解决活动中思维的深度。

例如，在学完“百分数的认识”内容后，了解到国家对城市空气质量优良天数比率达到80%，大力改善空气质量的要求，教师可以询问学生有没有比较关心的问题，引导学生讨论“如何探究某城市空气质量优良天数比率是否达到80%？如何判断某城市天气质量是否改善？”等问题，再通过设计好的评价量表判断学生在分析、解决这些问题过程中的具体表现，主要维度包括收集、整理数据的思路以及计算比率的方法。

总之，“会用数学的思维思考现实世界”的素养既需要高阶的数学思维能力，能够从现实世界中抽象概括出数学问题，又需要在解决数学问题之后再返回到具体生活中去，在从“现实世界的生活实践→数学知识体系→现实世界的生活实践”这样一个完整的循环过程中，活化数学思维，方能获得持续发展的、被广泛应用的数学核心素养。