“导疑·启思·变式”让数学课堂充满思维的火花

倪湘丽

［摘  要］ 数学教学应当激发学生的学习兴趣，夯实“四基”的同时发展“四能”，形成基本的数学素养. 疑问是兴趣之源，思考是思维之本. 在课堂教学中，合理的设疑，可以极大地激起学生的探究欲望，进而促发思考. 变式教学可以培养思维的灵活性和多样性，提升学生的思维品质.

［关键词］ 设疑；启发思考；变式教学

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出数学教学除了让学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验外，还要能够体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题、分析和解决問题的能力. 另外，创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中. 学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心. 笔者在长期的教学中发现，课堂教学中运用“导疑—启思—变式”的教学模式，可以充分调动学生的积极性、提高他们的课堂参与度、扩大他们的思维量，从而真正体现学生在课堂中的主体地位. 下面就笔者的这一教学主张进行简单的阐述.

思起于疑 设疑释惑

教育家苏霍姆林斯基说过，求知欲、好奇心是人永不可改变的特性. 哪里没有求知欲，哪里便没有学校. 爱因斯坦也曾这样表述，好奇心是科学工作者产生无穷的毅力和耐心的源泉. 因此充满好奇心的学生将更富有潜力、活力和创造力. 课堂教学中，教师有必要激发学生的好奇心，激发好奇心的一个很好的途径就是在教学中设疑. 通过适当设疑激发学生学习数学的兴趣与热情，提升学生自主探索的能力，增强学生敢于质疑权威的意识. 基于此，何时及如何设计启发思考的问题串就成为关键.

1. 由易及难，分层推进式设疑

利用层层递进的问题串可以化解学生思考中的困境. 如在苏科版九年级上册“一元二次方程的解法”一节中可以采取由浅入深分层设疑方式让学生逐步掌握“整体法”解方程的思想，设置如下问题.

问题1：x2-16=0，则x=？

问题2：（x+2）2-16=0，则x=？

问题3：4（2-x）2-9=0，则x=？

学生可以根据平方根的定义轻松解决问题1. 问题2在形式上与问题1稍有区别，学生对此展开讨论，有的建议利用完全平方公式将方程化成一般式再解决，而有些认为可以将“x+2”看成一个整体再求解，从解法的对比中可以发现整体思想的便利性. 问题3中的方程被再次加深难度，学生在自主探究中，自然地想到先把方程化成问题2的形式，将-9移到等号右边，然后根据“整体法”这一思想将等号左边化为［2（2-x）］2，或者两边同时除以4将左边化为（2-x）2，此题便迎刃而解. 三个问题呈现出层层递进的关系，学生的思维也在层层递进中得到提升. 在数学教学中教师由易及难、由浅入深、层层递进设疑可以帮助学生循序渐进地掌握知识内容. 在教学的“重点”“难点”“衔接”“过渡”等关节点上利用递进式设疑，能起到促进学生思维发展的教学作用.

2. 由表入里，承上启下式设疑

研究问题不能只研究其表象，更重要的是研究其内在的本质，教师课堂设疑时，可以从由表及里的角度进行. 通过对疑问的探究，在教师的引导下，学生自主建立内在的知识框架，从而让思维“活”起来. 如八年级（苏科版下册） “分式的加减法”教学中，可以设计这样的问题串.

问题1：请用自己的语言说明+的运算规则？

问题2：你能不能用代数式的形式表示上述数学式子呢？

问题3：对刚刚表示出的式子，大家想想该如何进行运算.

问题1和问题2学生独立完成，对于问题3，鼓励学生在观察问题1的基础上大胆猜想，从而找出一般的规律，在此基础上教师继续抛出问题：

问题4：+=？这个问题如何求解呢？

启发学生类比异分母分数相加减的法则探索解法. 类比设疑，不仅教给学生相应的解题方法，还教给学生由表及里的研究问题的方法，使学生真正感受到数学知识框架的内在逻辑关系，有助于学生构建知识体系，激发学生的学习兴趣与求知欲望，促进学生在解决数学问题的过程中把知识转化为能力.

3. 形似质异，陷阱式设疑

学生经常会犯审题不清的错误，陷阱式设疑无疑可以让学生提高警惕，养成逐字逐句审题、画关键词的习惯，如下面的问题.

问题1：△ABC的三条边的长分别为3，4，6，与△ABC相似的△A′B′C′的最长边的长为18，求△A′B′C′的最短边的长.

问题2：△ABC的三条边的长分别为3，4，6，与△ABC相似的△A′B′C′的一边为12，求△A′B′C′的最长边的长.

学生在解决问题1时很轻松，由题中关键词“最长边”得△A′B′C′最长边的长为18，它与△ABC 中的边长为6的边成对应关系，然后利用相似三角形对应边成比例，求出△A′B′C′的最短边为9. 在问题1的基础上，教师设置问题2，问题2与问题1“形”上特别相似，但有本质的区别. 学生有了第一题的解题经验后，往往会沿着惯性解下去，这样就踏入了陷阱，出现错误. 通过教师设疑、讲解后，学生知道了问题2与问题1有着不同之处，需要对已知边长为12的边进行分类讨论，再利用相似三角形的性质得最长边为24，18或12. 这样的陷阱设疑，很好地将“形似质异”的问题曝光，引导学生在具体解决问题时，不能仅仅依靠经验解题，而是要仔细阅读，审清题意，在“与众不同”处多思考、多总结，这样的设疑定能提升学生对知识点的理解.

4. 认知冲突，矛盾式设疑

当新学的知识与学生已有的知识结构产生矛盾时，就形成了认知冲突，此时设疑，可以启发学生多角度思考，拓展思维广度，激发学生的学习兴趣. 如苏科版九年级下册“探索三角形相似的条件”第一课时的教学中，学习基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”时，学生先根据以下要求进行操作.

操作1：在练习本上作出3条互相平行的直线l1，l2，l3，再作出2条直线a，b，使a，b与l1，l2，l3分别相交于点A，B，C和点D，E，F.

操作2：度量图中的AB，BC，DE，EF的长度，并计算对应线段的比值.

问题1：根据计算所得比值，你有什么发现？

问题1的答案：在图1中，有=，即线段AB，BC，DE，EF成比例.

问题2：请同学们再想想，还有哪些线段对应成比例？理由是什么呢？

学生对此进行了大胆猜想：①AB，AC，DE，DF成比例；②BC，AC，EE，DF成比例；③AD，BE，BE，CF成比例……在陈述以上猜想的理由时，直观思维与理性思维形成了碰撞，同学之间产生了思维分歧，新旧知识产生了冲突，教师此时要充分抓住这一机遇，进行设疑，从而达到解惑的目的. 认识到线段AD，BE，BE，CF并不是平行线所截的对应线段，得出基本事实“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”. 趁着刚才的教学热度，继续设疑，让思维碰撞的火花燃烧得再旺一些.

问题3：当图1中的点A与点D重合时，如图2所示，△ABE与△ACF相似吗？

学生对此进行了热烈的讨论，有的认为相似，有的认为不相似. 认为相似的同学是通过观察发现这两个三角形形状应该相同，认为不相似的同学则认为线段BE，CF不是被平行线截得的线段，所以应该和其他线段不成比例，所以不可能相似！辩论双方都觉得对方说得有理，却不知如何解决，在思维矛盾的节点上继续设疑.

问题4：图1中≠，图2中=吗？如果相等，如何证明？

学生再次进行思考、讨论，发现过点B作BG∥EF（如图3）交CF于点G，则易证四边形BGFE为平行四边形，得BE=GF，再根据基本事实===，得出△ABE∽△ACF. 本次探索中，充分利用了学生理解上的矛盾冲突，引起学生强烈的探究欲，在思维激烈的碰撞下完美解决了问题，学生已是满满的成就感，而此时教师继续让学生挑战自我.

问题5：如图4，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，已知AB=1，BC=3，DE=1.2，求DF的长.

此处学生在得到基本事实的基础上，很容易求出DF的长.

问题6：在问题5的基础上，若增加条件AD=2，CF=6，求BE的长.

学生瞬间展开爆炸式讨论，充满了征服欲，最终经过探究给出了三种不同的方法：

如图5，利用△GAD∽△GCF，且相似比为1 ∶ 3求出GA=2，再利用△GAD∽△GBE，且相似比为2 ∶ 3求出BE=3；如图6，利用△CBH∽△CAD，且相似比为3 ∶ 4求出BH=1.5，再利用△DHE∽△DCF，且相似比为1 ∶ 4求出HE=1.5，从而BE=3；如图7，利用平行四边形求出IE=KF=AD=2，再利用△ABI∽△ACK，且相似比为1 ∶ 4，求出BI=1，因此BE=3. 这里通过变式题深化了学生在前面探索中的发现，创造性地运用知识和方法来解决问题.

当然，启疑还有很多不同的方式，这要视教情和学情而定. 尤其要关注学情，因材施教、因生设疑，方式虽多样化，但其目的都是在于能够激起学生的探究欲望，从而主动进行多维度的思考、辩驳，提升学生发现问题、分析问题并解决问题的能力以及在探究过程中形成良好的思维习惯.

由疑启思，思则辨，辨而用，学生的思维经过思考的沉淀积累，在运用所学知识解决问题时往往显得较为轻松，此时再辅以变式教学，长久坚持，必定能够使得学生在解决问题时游刃有余、创新不断.

变式教学，变出高度

变式教学是一种以教学目标为基础，灵活创新转化命题的教学方式，具有适用范围广、学生参与度高、理解难度小的特点，被广泛应用于数学教学过程中. 在笔者的教学经验中，变式教学一般有以下几种.

1. 一题变多式，变出思维

数学题具有灵活多变的特点，但具有相同特点的题型往往是“形”变而“神”似. 教学中可以利用“一题多变”活跃学生的思维，启发学生能够触类旁通地思考，而不是机械性地就题做题、思维定式.

问题1：如图8，在△ABC中，AB=6，AC=4，BC=5，点D是AB的中点，过D点的直线交边AC于点E，若△ADE∽△ABC，求AE的长.

变式1：如图8，在△ABC中，AB=6，AC=4，BC=5，点D是AB的中点，过D点的直线交边AC于点E，若以A、D、E为顶点的三角形和△ABC相似，求AE的长.

变式2：如图8，在△ABC中，AB=6，AC=4，BC=5，点D是AB边上的任意一点，过D点的直线交△ABC的另一边于点E，若直线DE所截得的三角形与△ABC相似，这样的直线DE有几条？请你把它们一一作出来.

变式3：如图8，在△ABC中，AB=6，AC=4，BC=5，点D是AB边上的任意一点，过D点的直线交△ABC的另一边于点E，若直线DE所截得的三角形与△ABC相似，这样的直线DE有4条，请求出AD的取值范围.

原题很简单，学生由相似三角形对应边成比例很容易求出AE=2. 比较变式1和原题，会发现变式1设置了陷阱，要分类讨论，分别是△ADE∽△ABC时AE=2和△ADE∽△ACB时AE=4.5，但4.5>4，故第二种情况舍去，综上AE=2. 而变式2中将中点D变更为AB边上的任意一点，这时的分类就会很复杂，需要学生画多幅图进行分析和讨论，思维的突破可见一斑，最终通过学生画图，辅助以几何画板发现随着点D在AB边上位置的变化，直线DE的條数可能是3条或4条. 变式3是对变式2问题的升华，只有在充分研究变式3的基础上才会发现，当点D位于图9中的点D1和D2及这两点之间时，才能画出4条满足条件的直线DE，从而求得AD的取值范围是≤AD≤.

2. 一题变多解，变出解法

通过不同的方式解决同一个问题可以让学生的思维得到发散，使学生获得更多的、更为优化的解法.

问题1：已知两个连续正偶数的积为48，求这两个数分别是多少？

方法1：设较小的偶数为x，则较大偶数为x+2，利用两个连续正偶数的积为48可列方程x（x+2）=48，解得x1=6，x2=-8（不符合题意，舍去），此时x+2=8，所以两个数分别是6和8.

方法2：设较小的偶数为x，则较大偶数为，利用两个连续正偶数可列方程-x=2，解得x1=6，x2=-8（不符合题意，舍去），此时=8，所以两个数分别是6和8.

方法3：设x为任意正整数，则两个连续正偶数可以表示为“2x”和“2x+2”，利用两个连续正偶数的积为48可列方程2x（2x+2）=48，解得x1=3，x2=-4（不符合题意，舍去），此时2x=6，2x+2=8，所以两个数分别是6和8.

以上三种解法中，方法1利用条件两个连续正偶数的特点来设未知数，结论积为48列方程；方法2与方法1相反，利用结论积为48来设未知数，条件两个连续正偶数的特点列方程. 方法3连续正偶数的规律设未知数，积为48列方程.

3. 一法变多用，变出多用途

一法多用是变式教学中相对难的部分，其需要学生深入掌握和了解知识，是在一题多变与一题多解的基础上的延伸. 将变式教学应用在初中数学课堂中，不但能够对数学知识进行整体概括，还能够对多个知识点进行整理，以此来让学生积累更多的学习经验，帮助学生形成知识体系.

问题1：通过平移把点A（2，-3）移到点A′（4，-2），按同样的平移方式可将点B（-3，1）移到点B′，求点B′的坐标.

变式1：如图10，在平面直角坐标系xOy中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A1B1C1D1，已知A（-3，5），B（-4，3），A1（3，3），求B1的坐标.

变式2：如图11，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（，0），B（1，1）. 若平移点A到点C，使以点O，A，C，B为顶点的四边形是菱形，则应当如何平移？

变式3：如图12，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，对角线OB，AC相交于点F，点B的坐标为（4，t）（t>0），二次函数y=x2+bx（b<0）的图象经过点B，顶点为点D. 直线l平行于x轴，交二次函数y=x2+bx（b<0）的图象于点M，N，连接DM，DN，当△DMN≌△FOC时，求t的值.

这几道变式题看似没有任何联系，其实都可以化归为与点的坐标平移规则相同的一类. 问题1不难理解是点A先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到点A′，点B，B′的平移关系与点A，A′相同，于是得点B′（-1，2）；变式1看似四边形的平移，通过分析发现仍然是点B，B1的平移关系与点A，A1相同，于是得点B1（2，1）. 变式2需要学生运用菱形的性质分析出点O，B的平移关系与点A，C相同，得到点C（+1，1）. 变式3变更程度很大，对学生来说极具挑战性，但前面三题中平移方法的使用对本题有着启发作用，由点的平移发散到图形的平移，于是学生想到将二次函数y=x2+bx（b<0）的图象平移至顶点在原点的函数y=x2，由△DMN≌△FOC可知，点F的横坐标即平移后点N的纵坐标，另MN=OC=t，点N的横坐标为

，2，代入解析式y=x2，解得t=2.

结束语

笔者在长期的教学实践中发现，课堂教学中运用“导疑—启思—变式”的教學模式能够给学生提供更多思考的时间和空间，有效激发学生的学习兴趣，激起学生思维碰撞，强化教学效果，进而提高学生的数学综合能力.