强化多元表征，提高学生数学问题解决能力

陈荣芳 卢敏

【摘 要】数学多元表征分为多元外在表征与多元内在表征，是理解数学本质和解决数学问题的关键。其贯穿于整个数学问题解决的过程之中，多元外在表征的运用有助于学生发掘数学的本质，多元内在表征的作用在于活化学生的思维方式。本文从多元表征的核心——多元化与可视化入手，结合学生身心发展规律，提出教师在数学教学中可以借鉴的三点建议：关注个体差异，构建学生学习共同体；有效表征数学问题，促进学生对问题的深刻理解；灵活数学表征运用，提高学生问题解决能力。

【关键词】多元表征 问题解决 教学启示

一、问题提出

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确提出学生数学发展的“四能”要求：體会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，在探索真实情境所蕴含的关系中发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题；鼓励学生质疑问难，引导学生在真实情景中发现问题和提出问题，利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题。

历次的PISA测试结果显示，中国学生在通过实施标准算法就能解决的问题上表现良好，但通常在不能通过一种算法解决而是需要对问题情境进行新的探索的问题中表现得不足。这说明在数学问题解决中的多元问题表征，利用多种方法解决问题、创造性解决问题是中国中小学的薄弱点，是未来数学教育要思考的内容。

二、多元表征与数学问题解决

《辞海》对“表征”一词的解释为“揭示；阐明；也指事物显露在外的征象”，这意味着表征有两层含义：一是事物的外在征象；二是对事物内在本质的揭示表征。在认知科学、教育心理学等领域中，“表征”则是指把一种事、物、想法或知识用某一种物理的或心理的形式重新表示出来，因此事物的“多元表征”便是指同一事物的多种不同表征形式。

关于数学问题解决的研究，早期阶段关注点是数学问题解决的过程、模式建构和应用技能三个外在的层面。随着认知心理学和脑科学的发展，近年来越来越多的学者将问题解决研究的焦点转移到其内在机制上，尤其是侧重问题解决阶段的表征、解决过程中的表征多元化以及元认知分析等。

（一）多元表征贯穿于整个数学问题解决的过程

数学家波利亚将问题解决分为四个环节：一是理解题目，二是制订计划，三是执行计划，四是回顾反思。在每个问题解决的环节都充分体现了多元表征理论：理解题目就是了解题意的过程，也是对问题进行多元表征的过程；制订计划则是将外在的多元表征转化为内在表征，通过个体主观能动，从而形成解题计划；执行计划便是再将内在表征外化，通过“数”与“形”的多种表征形式将计划具体呈现，从而解决问题；而在最后一个环节，除去对解题过程的再次检查，同样可以采取另一种表征方式重新解题并通过检验来回顾反思（见图1）。并且，在多元表征的理论指导下，学生在学会解题的同时，不仅能做到充分利用题目的信息、多元化表达，还能够在内外化表征的转化中学会思考，掌握解决问题的技能技巧，获得更深层的思维体验。

（二）多元外在表征的运用有助于发掘数学本质

数学本身是抽象的，只有当其具体化为几何与代数或是图像与符号时，它才能够被理解，被后人学习并传承。数学问题也是如此，只有当其被表征、被具体可视化时才可能被解决。因此，对于学生解决数学问题而言，只有恰当的问题表征才能在已知条件和最终目标之间形成正确的问题情境表征，从而顺利解决数学问题。学生在解决数学问题时，先要对问题进行合理的外部表征，将其化整为零，而后转化成已学的内容，在不同的数学结构间建立联系，从而将问题解决。因此，有效的外部表征是成功解决数学问题的关键。在解决数学问题的过程中，学生对给定的问题进行理解、掌握、转化，形成外部表征，并初步制定解决问题策略。对于学生而言，是否能够揭示数学问题本质的关键就在于他们选择问题表征的方式或问题表征的能力。

（三）多元内在表征活化学生解决问题的思维方式

问题解决是一种高级形式的学习，通过解决问题这一复杂的思维过程，学生能够利用学过的知识和规则的联合或重组来解决新问题。所以说问题解决是培养学生创新精神和提高学生实践能力的有效途径之一，这也是问题解决的最高阶段。数学学习与问题解决，都需要对复杂的材料进行信息解码和编码，以此获得丰富多样的信息，而后通过语言、文字、数字、图像、符号等多元表征完整呈现数学问题解决的过程。在每个过程中，表征都作为问题解决的重要策略，而问题的内部表征代表了问题在学生头脑中的呈现方式，对问题的解决起着关键作用。但由于每个学生长期以来形成的认知风格、思维方式存在差异，其对数学问题的内在表征形式不一，有人偏爱直观想象，有人偏向抽象演绎，如若一直采用单一表征形式，久而久之，学生的思维必将模式化。

三、强化多元表征，提高学生数学问题解决能力

（一）关注个体差异，构建学生学习共同体

学生的知识基础、生活经验及认知风格等存在差异，面对同一个问题，学生会出现不同的想法，进而外化为不同的表征。教师要关注学生的个体差异，尊重学生对知识多元化的理解，允许学生有不恰当的理解，鼓励学生表达对材料信息的不同认知和态度，关注他们学习过程的独特感受。

例如，研究“搭配的规律”中的一道题目：小红有3件不同的上衣和2件不同的裤子，搭配起来有多少种不同的穿法呢？学生解答过程中用的表征图式多样化，采用了不同方法来理解问题并解决。（见图2）

针对图2方法1中学生用画实物图来表征问题的方法，教师引导学生思考：对这种方法你有什么建议？有学生说：“画图很形象，但画起来比较麻烦，可以用文字来表示（方法2）。”有学生说：“我是用符号来表示裤子和衣服的（方法3），不需要一个一个写下来，连成线就可以看出有6种不同的搭配方法。”

教学中，教师首先要深入了解学生解决问题的表征方式，提高他们的问题表征能力。同时需要构建学习共同体，引领学生互相倾听，理解别人表征的需要，对于多样化的表征方式，进一步辨析表征异同，沟通表征之间的联系，抽象不同表征的共同点，成为引发深度学习的资源，最终发展和完善学生的认知结构。

（二）有效表征数学问题，促进学生对问题的深刻理解

在解决问题的过程中，学生需要有效表征数学问题，包括对字面的理解以及问题的深层理解，即学生头脑中对数学问题的重述，对给定的问题进行理解、掌握、转化，形成外部表征，并初步制定解决问题策略。教师需要结合教学内容和学生的实际需要，为学生创设熟悉且易于理解的教学情境，帮助学生进行有效表征，理解数学问题，启发学生运用数学知识来解决实际问题。

1.教学表征手段多样化

表征应该是数学教师具备的专业技能之一，教师的表征手段越丰富，操作越娴熟，就越能够了解学生的需要，并据此选擇合适的方法，通过比较、类比、举例、暗喻、提问、演示等，引导学生深入了解问题情境，鼓励学生多角度思考，并运用多样化、个性化的方法来解决问题，促进学生认知的提升。

2.学习材料设计多维化

有效的表征要与对应的教学情境相适应，教学中教师选择的学习材料要体现不同情境、不同表征方式的需求，这样便于引导学生理解表征方法的多元化，能够沟通不同表征方法之间的联系。例如，人教版数学六年级上册“数学广角”中的“数与形”，就是引导学生通过数形结合找到规律，建立“数”与“形”的联系，借助几何直观解决问题，渗透数形结合的思想。

教材中的两道例题有不同的设计意图：例1（题略）先给图形再给算式，借助图形解决抽象的问题；例2（题略）是先给算式再给图形。教师需要深入发掘例题的编排意图，教会学生将数学的规律用简单、直观的图形呈现出来，引导学生能够 “由形感数”，也能“以数悟形”，从而学会运用“数形结合”方法解决问题。

3.学习过程呈现可视化

学生的内在表征是问题在学生头脑中的思考，或者说是学生的内部心理符号，需要通过外在表征将其具体化和外显化。教师引导学生将问题解决的过程以适当的方式清晰地表达出来，由此帮助学生联系已有经验基础，完成知识建构，能使学生更容易地理解问题的本质，更好地解决问题。

例如，苏教版数学三年级教材中一道题目：小猴帮妈妈摘桃，第一天摘了30个，以后每一天都比前一天多摘5个。小猴第三天摘了多少个？第五天呢？“以后每天都比前一天多摘5个”这一条件比较抽象，教师需要引导学生调动已有的认知经验与方法，借助图形、表格、示意图等不同方式进行表征，表达其思考过程，让思考的过程清晰可见。

（三）灵活数学表征运用，提高学生问题解决能力

1.丰富感知，启发学生思维的发散性

问题解决教学的主要目标之一是帮助学生从多种不同的视角、运用多种方式进行表征运用，采用不同的策略解决问题，以此培养学生的发散性思维。

例如，数学实践活动：采一片树叶，算一算树叶面积大约是多少。有的学生在方格纸上描出树叶的轮廓线，再估计面积；有的学生用1平方厘米的纸片去铺一铺；还有的学生将树叶剪一剪、拼一拼，拼成近似的长方形，再量一量长和宽，估算出面积。在探索过程中，学生体会到了面积计算和测量与实际生活的联系，体会到了可以通过多种方法估算不规则图形的面积，积累了丰富的活动经验，不仅提高了动手实践能力、问题解决能力，同时启发了思维的发散性。

2.沟通联系，增强学生思维的整合性

有研究指出，在解决问题的过程中，数式所体现的代数表征和图形所体现的几何表征的选择与应用，体现了学生逻辑思维和直觉思维两类不同的数学思维方式。教学中教师既要重视学生的抽象、形式化的代数表征，也要重视操作、直观的几何表征，将多种表征方式融合运用，沟通不同表征方式之间的联系，助推学生对知识本质的整体把握。

例如，探索“和的奇偶性”规律：奇数+奇数=？学生一般先会采用举例验证的方法：5+3=8，5+11=16，……找出两个奇数的和为偶数的规律。但教学不能仅仅停留于此，教师还需要引导学生进一步思考：为什么两个奇数相加的和是偶数？是不是所有的奇数相加的和都是偶数？再引导学生用图式表征5+3（见图3），3块积木加上5块积木，每2块一组，多余的2块又可以组成一组，进一步验证两个奇数相加的和为偶数。教师还可以进一步引导，偶数可以表示为2n（n为自然数），奇数可以表示为2n+1，也就是偶数+1，两个奇数相加，可以想成（偶数+1）+（偶数+1），偶数+偶数还是偶数，1+1=2也是偶数，所以奇数+奇数的和肯定为偶数了。学生能够从“数”与“形”两个方面进行理解，知道不同表征方式内在一致性，建立“数”与“形”之间的关系，就能深刻理解知识本质，也就增强了思维的整合性，促进了学生思维的发展。

3.双向转换，培养学生思维的灵活性

在解决问题教学中，教师如果只关注直观表征运用，学生就会停留在具体化阶段；如果只关注抽象符号表征，忽视直观形象表征，学生解决问题过程的体验就不深刻。基于多元表征的教学，教师需要引导学生进行两类不同表征方式的相互转换和结合，建构数学表征的网络系统，学生才能实现对数学问题的深度理解，培养学生思维的灵活性。

以上述探索和的奇偶性为例，学生不仅需要借助实例表征，初步发现规律，也需要通过图形表征，进一步理解规律的本质含义。教师还要引导学生用文字表征的方式对规律进行归纳总结，在不同的表征方式之间灵活地转换。教师通过恰当的组织与引导，让外在表征有序并整体地内化为学生的内在表征，从而提升学生数学思维的层次性、灵活性，促进学生数学思维的发展。

四、结语

多元表征理论下的数学问题解决的教学，应该基于学生的不同自身经验和知识背景，采用多元表征解决数学问题，由此让学生明白自我体验材料的意义，在较为复杂的问题情境中能够理解和转换，较好地解决问题，从而提高学生的数学思考能力和问题解决能力。