“一课三学”，引领学生走向深度学习的数学发现学习支架

姚莉莉

【摘 要】在倡导深度学习和发现学习的课堂教学背景下，本文尝试探索 “一课三学”——课前研学、课中历学、课后拓学的模式，强调沟通知识的“生长点”和“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，引导学生感受数学的整体性，从而达到培养学生的数学素养的目的。同时，通过搭建“一课三学”的数学发现学习支架，引导学生主动探索，不断进行发现学习，完成个体认知结构的构建和再发现，从而走向深度学习。

【关键词】“一课三学” 深度学习 数学发现 学习支架

所谓深度学习，是指学生在教师的引导下，围绕具有挑战性的学习任务，全身心地积极参与、经历体验、获得发展的高度投入的有意义的学习过程。而数学发现学习，则是指教师基于发现学习的理论，结合数学学科的特点和当前教学改革的重点开展的学习活动，通过创设有意义的学习情境，激发学生的学习兴趣和动机，让学生提出要解决的问题和设想，并通过独立或与他人合作参与特定的数学活动，探索解决问题的策略。

作为发现学习支架和实现深度学习的路径，教师通过设计“三单”——“课前研学单”“课中历学单”“课后拓学单”，能够引领学生进行深度学习和发现学习。借助“一课三学”支架，最终形成以学为中心、互动生成、深度发现、情智共融的发现数学课。下面笔者以“用字母表示数”一课为例，谈谈具体的操作与实践。

一、课前研学重生长，激活新知妙引思

开展深度学习的课堂教学的前提是准确、全面的学情分析，不仅包括对知识的分析，更包括对学生现有思维路径的整体把握。知道学生“想什么”“怎么想”的教学才能突破学生思维的生长节点。因此，在正式授课前，教师首先引导学生进行“课前研学”。顾名思义，课前研学是一个安排在课前的学生自主学习的过程，学生根据已有的知识经验，对本节课的新授知识或部分新授知识展开自主思考，“研学单”则可以看成是一个简单的课前测试，便于教师基于学生研学的实际情况有目的、有针对性地开展课堂教学。

学生在学习“用字母表示数”前，大多是用数字表示数的。换而言之，本节课的学习是一个从“用数字表示数”到“用字母表示数”的发展过程，这个认知链的节点是数字从“确定”到“不确定”的过渡。学生在日常生活中已经先于学校课程接触了用字母表示确定的数，如扑克牌中的A、J、Q、K分别表示1、11、12、13。在五年级之前的数学课中，学生又学习了用符号表示一个特定的数和用字母表示运算律。

由于“用字母表示数”是全新内容，学生并没有相关经验需要复习或是唤醒，在此基础上，本课的教学设计，就不再从常规的用字母表示特定的数、一般的数起步，而是直接从用含有字母的式子表示数量关系开始。那么，课前研学应该怎么设计呢？笔者是这样安排的：

（1）猜一猜：这两辆车是同一辆汽车吗？

（2）关于汽车车牌，你知道哪些知识？ 这个车牌里的两个B表示的意思一样吗？根据学生的认知情况，教师相机介绍：第二个B只是代替数字进行编号，保证每一辆车都有自己唯一的号码。

（3）思考：你知道车牌中为什么一般不用字母O和I吗？继而指出：因为O和0，I和1相似，容易混淆，所以车牌中不用这两个字母。

建构主义认为，学习是学习者在一定的社会文化环境中，利用原有知识经验主动加工处理新信息、建构新知的过程。课前谈话“车牌的秘密”让学生感悟字母可以代替数字进行编号，在特定的情境中表示特定的意义，且由于“O”和“0”过于相似，因此车牌中不使用字母“O”，通过这一问题唤醒学生对字母认知的已有经验，为后续教学埋下伏笔。

二、课中历学促体验，发现新知巧生成

课中历学，顾名思义即课中开展的教学活动，学生通过教师精心设计的一个或多个历学活动，经历动手操作、自主探索、合作交流等过程，从而自主完成发现式学习。教师通过精心设计问题情境，引发学生的认知冲突，让学生在深度探究的历学活动和任务中丰富和完善知识和经验，同时关注对学生的持续性评价。教师通过引导学生改变学习方式，以学生核心素养培养为重点、以学生的整体发展为目标，借助一个或多个富有挑战性的历学活动，促进深度学习的发生。

（一）探索规律，丰富经验

用字母表示数的优势不仅在于简洁，而且在于由特殊到一般，更在于准确和无歧义。用字母表示數是小学生学习一般抽象思维的开始，无论是从形式上还是从思想上，认识抽象的字母表示数都不是一蹴而就的。基于此，笔者设计了如下历学单：

学生独立完成历学单后，进行全班交流，重点交流以下两个问题：

（1）三角形个数和小棒根数有什么关系？

（2）怎样用一句话概括出所有的摆法？

通过多次试教，笔者发现学生的表示方法主要有以下几种：

接着，引导学生思考：比较这些不同的表示方法，你更喜欢哪一种？为什么？在此过程中，教师要引导学生进一步思考哪一种表示方法更能清楚地概括出小棒根数和三角形个数之间的关系。

通过对几种表示方法进行比较，教师要引导学生发现：当两个量有关联时，最后一种方法用n表示三角形个数，n×3表示小棒根数的方法更合适。在全班展示和交流的过程中，教师要引导学生对不同表达方式进行层层对比，抽丝剥茧，使他们经历从特殊到一般、从具体到抽象的认知过程。学生在感知、感悟、比较、思辨的过程中，逐步体会用字母表示数的本质——当数不断变化时，用字母可以概括性地表示它，从而体会用字母表示数的严谨性、概括性、简洁性。

（二）构建模型，内化经验

为了让学生掌握“用含有字母的式子表示数和减法关系”，笔者以“总路程是4.5千米，已经走了（）千米，还剩下（）千米”为素材，组织学生再次经历用字母表示数和数量关系的抽象过程，体会字母式子不仅可以表示结果，还可以表示数量之间的关系。和用字母表示倍数关系相比，用含有字母的式子表示两个量的和差关系更抽象，这个环节笔者设置了如下教学过程：

思考：如果用b表示已行路程，那么剩下路程应该怎么表示呢？（图3）此时大多数学生会想到由于已行路程的变化，剩下路程也会跟着变化，所以多数学生会想到用另一个不同的字母来表示剩下路程。（图4）这时教师追问：“这个c能让人一眼看出它和已行路程b之间的关系吗？” 学生从这一问题出发，就能发现用c表示并不合适，从而引发认知冲突，最终得出应该用（4.5-b）表示剩下路程。（图5）笔者的教学并没有就此止步，而是提出两个问题：1.可以这样表示吗？2.前面我们都能算出已行路程，这里怎么算不出来了呢？学生的回答很精彩。有的学生说：“前面我们用n×3这个含有字母的式子表示小棒根数，这里当然也能用（4.5-b）这个式子表示剩下路程。”还有的学生说：“前面已行路程都是已知的，所以我们能用总路程减去已行路程得到剩下路程，现在已行路程未知，所以用（4.5-b）表示剩下路程，也非常清楚。”在此基础上，继续比较等号两边的（4.5-b）表示的意义有什么不同。此时，大多数学生都能肯定地说出等号左边的（4.5-b）表示的是已行路程和剩下路程之间的关系，等号右边的（4.5-b）表示的是剩下路程这个数量。此时，教师相机小结：（4.5-b）既表示剩下路程这个变化的数量，还表示已行路程和剩下路程之间不变的数量关系。（图6）

接下来，在根据字母的取值口算相关字母式的值时，教师要引导学生关注随着已行路程的变化，剩下路程也会随之变化，体会变量之间的关联性，渗透代数思维，体现函数思想。教师通过情境变式赋予“4.5-b”更加丰富的现实原型，让学生感悟字母式所具有的模型意义。

三、课后拓学促运用，提升巩固展思维

数学学习不是简单地学习一个知识点、解决一个问题，而是培养一种数学思维，逐步提高和完善学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力。因此，教师应创造性地进行作业设计，通过不同形式的练习、不同层次的拓学活动，引导学生亲历思考、实践、探索的过程，从而达到巩固拓展、深化思维的目的。课后拓学是在学生掌握新知后，通过各种形式和不同层次的研学活动，引导学生对知识进行回顾、总结、反思和再发现的过程。与以往的课堂练习不同的是，拓学一定要体现“拓展性”，即拓学的内容不能仅仅是基础性的练习，还应有对学生综合应用能力的拓展。

在多次试教过程中笔者发现，不管前半节课如何生动有趣，课堂讨论如何热烈，在进行简写教学时，学生还是表现得不够积极，究其原因主要有两点：（1）本课知识点多且教学任务重；（2）用字母表示数的简写本身具有很高的抽象性和枯燥性，即使是采用自学模式，学生仍未表现出浓厚的学习积极性。因此，笔者把教材中关于用字母表示数的规则制作成一个和本课主题人物有关的视频动画，在即时练环节把口答、笔算形式调整成和多功能智能屏的互动，结果大大提高了学生学习的积极性，课堂学习氛围也掀起了一个高潮。学生在试错的同时，笔者再启发学生思考：什么样的算式才能简写？学生很快就能发现只有含有字母的乘法算式才能省略乘号进行改写。教师在此基础上进行总结：在含有字母的乘法算式中，乘号可以省略不写，且数字要写在字母前面。

在全课小结后，笔者安排了第二个拓学活动—— “预测身高”。主题人物小爱出场引出话题：“只要提供你父母的身高，我就能预测你未来的身高哦。”在预测了几个学生未来的身高后，教师揭晓身高预测的奥秘，学生的情绪从兴奋转为震撼，感受到字母在公式应用中的神奇和便捷之处。

代数思维强调用代数的眼光去观察问题，这种意识的养成依赖于不间断的符号化操作。对于数学符号，不仅要“懂”，还要会“用”。在两个不同层次的拓学活动中让学生感知运用符号表示数或数量关系就是“用”符号的重要方面。通过精心设计的两个拓学活动，學生在不同情境中巩固了用字母表示数的知识，进一步发展了代数思维。

在所有的核心素养中，学习、思维和创新是核心。因此，教师要将培养学生的思维能力和创新能力作为日常教学的重点。根据教学内容的特点，教师可借助“一课三学”理念下的“一课三单”，沟通知识的“生长点”和“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，引导学生感受数学的整体性，从而达到培养学生的数学素养和终身素养的目的。