提升高中数学解题能力的有效策略

朱小坤

摘 要：文章对高中数学解题教学中的问题进行了分析，并从四个方面对如何提升学生的解题能力进行了阐述：阅读题目内容，掌握解题条件；开展变式训练，拓宽解题思维；讲述解题思想，掌握解题方法；做好错题整理，反思解题过程，最后对提升解题能力的效果加以总结，力求给广大教师以教学启发，从多个方面考虑培养学生解题能力的措施，助力学生的数学综合能力得到强化，数学教学的育人价值得以呈现，为社会培养综合型人才.

关键词：高中数学；解题能力；高中生；数学教学

《普通高中数学课程标准（2022年版）》中强调教学过程更要注重学生数学思想和数学思维方式的指导，而解题教学是学生数学思维拓展的重要渠道之一.然而一些学生对数学题目的理解存在问题，且逻辑思维、举一反三能力以及空间想象能力存在一定的不足，解题方法欠缺，导致学生在解题的过程中存在困难，解题能力得不到提升，失去了数学学习的信心.为了解决这一问题，教师在解题教学时要注意对学生的薄弱环节进行分析，并改善解题教学的方法，引导学生对题目进行理解，并树立正确的解题思想，掌握解题方法，最后在反思和错题整理的过程中提升自身的解题技能和效率，树立数学学习的信心.接下来，笔者将对自己在解题教学中采用的策略进行一一介绍，并对其中的精髓进行阐述，希望能够为广大数学教师提供一定的教学启发，让更多的学生高效解题，拓展学生的数学思维.

1 学生解题中出现的问题

1.1 题目理解易错

纵观高中生在作答数学题目时常常因为理解能力差，出现审题不严、读题不清的问题，所以给出了错误的答案.再者，学生在题目的理解过程中由于忽视隐含的条件，因此也会作答错误，无法给出正确的答案.教师在解题教学时需要帮助学生对题目进行理解，让学生能够在理解的基础上进行作答，以此提高解题正确率.例如，设A={x|x2-8x+15=0}，B={x|ax-1=0}，若A∩B=B，求实数a组成的集合的子集有多少个？学生在作答这一题目时容易忽视隐含的条件，忽视空集是任何非空集合的子集，所以在求解满足条件a值时会出现漏解的现象.

1.2 解题思维狭隘

很多学生在解题时思维受限，所以在解答习题时容易急躁，无法进行解答，最终选择了不利于作答的方法导致作答出现错误，原因在于教师在平时教学中缺乏举一反三的变式训练，导致学生的思维狭隘，错误百出.例如题目：函数f（x）=log₂^2x-1/2x+1（x＜-1/2或x＞1/2）的反函数为f^-1（x），证明f^-1（x）是奇函数且在定义域上是增函数.由于学生们的思维狭隘，没有考虑到原函数与反函数之间单调性与奇偶性的关系，因此在解答题目时出现了过程繁琐的问题，再加上自己的粗心导致答案错误.

1.3 解题方法单一

数学习题的训练是为了锻炼学生的思维，让学生将掌握的知识进行巩固和应用，并用正确的方法中将问题解决，从而提高解题的正确率.然而学生们的方法单一，且找不到高效、合理的方法，导致解题的正确率低.例如题目：已知数列{an}是等差数列，且a₁=2，a₁+a₂+a₃=12.（1） 求数列{an}的通项公式；（2）令b_n=a_nx_n（x∈R），求数列{bn}的前n项和公式.学生在作答这一题目时由于未选择错项相减法所以解答得不到位，导致答案出现了问题.

1.4 一题多次出错

错题是难免出现的，而用心的学生会将错题进行总结，在反思中做到查漏补缺，不断地提升自身的解题能力.然而做到这一点的学生并不多，因为缺乏对错题的反思和回顾，所以同样的、类似的题目反复出错，挫败了学生的解题信心，对学生的成长很不利.例如，很多学生在面对错题时只是当时修改，并未分析其中的原因，致使在未来遇到同样的问题时依然出错，漏洞百出，久而久之失去了学习的信心.

2 提升高中数学解题能力的策略

2.1 阅读题目内容，掌握解题条件

上文提到学生们在作答习题时由于理解不到位，忽视隐藏的条件导致答案错误.所以教师在解题教学时务必从阅读题目内容出发，帮助学生挖掘隐藏的条件，提高学生的理解能力和分析能力，就题目给出的条件和隐藏的条件进行分析后再梳理解题的思路，提高解题的准确率.最终让学生在解题的过程中重拾信心，为日后的发展奠定基础.例如，函数y=1-log₃x的定义域为________.在作答這一题目时，笔者让学生对题意进行了理解，并对给出的条件进行了分析，结果发现很多学生在解答此题时忽略了题目中函数为复合函数，x＞0这一条件.于是，笔者指出错误后让学生们对题目进行了二次分析，将暗藏的条件进行挖掘，考虑到复合函数u=log3x的定义域为x＞0，而函数y=1-u的定义域为1-u≥0，于是得到：1-log3x≥0

x＞0得到函数y=1-log3x的定义域为（0，3］.这样学生们就得到了更加正确全面的解答过程.纵观这一题目，学生们在作答此题时给出错误的答案的原因是忽视了隐藏条件，所以笔者就要提醒学生关于这类题目在读题和理解题时的注意事项，要求学生在多次训练的过程中养成挖掘隐藏条件的习惯，进而保证答案的准确性和全面性.所以在作答完这一题目后，笔者又给学生展示了以下题目：已知函数f（x）=x2+2x（-2≤x≤1且x∈Z），则f（x）的值域是（  ）.

A. ［0，3］

B. {-1，0，3}

C. {0，1，3}

D. ［-1，3］

此类题目是为了考验学生在分析函数图像时是否能够考虑到x∈Z这一条件，是否能够通过上面的教导而将题意中给的条件考虑全面，最终给出正确的答案.总之，此道题目的练习就是考验学生在审题过程中，能否有意识地改正自己审题马虎的行为，在不断地训练中提升自己的审题能力和理解能力.

2.2 开展变式训练，拓宽解题思维

上文提到学生在做题时还经常出现一个问题，因为自己的思维狭隘，所以在作答习题时一旦题目稍作修改就不易作答，思维受限.所以在解题教学中教师要多加开展变式训练，保证学生不仅能够将题目吃透，还要对类似的题目以及拓展的习题都能应答，在举一反三中拓展思维.为了达到以上目的笔者给学生展示了不同的题目：

例1 函数y=1-log3x的定义域为    .

例2 函数y=log12（x2-3x+2）的单调递减区间为    .

例3 若2lg（x-2y）=lgx+lgy，则yx的值为    .

分析以上习题可以发现，在作答例1时学生需要考虑复合函数的定义域，通过双面夹击方可得出正确的答案.而上文提到由于学生们容易忽视x＞0这一条件而出错，所以为了让学生能够在原有的基础上得到提升，并拓展思维，于是笔者通过变式给出了例2.此题目的作答不仅让学生要考虑函数的定义域，还要考虑在定义域下函数的单调递减区间，从而让学生在考虑复合函数定义域的同时将单调区间也进行分析，在例1的基础上实现了拓展.而例3则与例1类似，在解答的过程中要考虑x-2y＞0这一隐藏条件.总之变式训练的开展让学生在层层递进中加深对题目的印象，在变式中不断地拓展思维，从而达到训练的目的.为了检验学生对题目条件的理解程度，笔者还给学生展示了以下题目：

例4 双曲线4x2-y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，求点P到另一个焦点的距离.

例5 双曲线4x2-y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于17，求点P到另一个焦点的距离.

通过以上变式训练的作答让学生能够对问题进行深度理解，并在原有的基础上变式作答，达到触类旁通的目的.

2.3 讲述解题思想，掌握解题方法

解题思想和方法的讲解是提高做题效率和准确率的关键，很多学生之所以在遇到题目时不知道如何下手，原因在于缺乏基本的方法和思路，因此教师在解题教学中务必给学生讲述相关的方法，让学生在遇到相关的题目时能够快速地选对方法并进行解答.

例6 已知sinx+siny=13求siny-cos2x的最大值.在作答这类题目时笔者让学生们将题目中的某个式子或者函数看做一个整体，利用换元法将其代替，将题目中的问题进行化简，如令t=sinx-23≤t≤1，这样就可以将复合函数变为以t为自变量的函数，简化了求解过程.这一方法的讲解让学生在看到类似的三角函数题目时都能想到换元法这一解答技巧，进而提高了解题效率.

例7 求适合下列条件的椭圆的标准方程，两个焦点的坐标分别为（-2，0），（2，0），并且椭圆经过点52，-32.在解答这类题目时，由于给出的具体坐标满足标准方程，所以直接采用待定系数法代入方程即可，就能得到准确的答案，减少错误的出现.

数学习题的解答方法还有很多，在此不再一一列举，只要教师在平时将具体的解答方法都能讲到，那么学生的做题效率就会提高，且正确率也会提升.所以解题方法的讲解是提升学生解题能力的关键，教师务必将这一教学内容加以重视.

2.4 做好错题整理，反思解题过程

学生在作答习题时难免会出错，但是很少有学生会分析为什么出错，是马虎或者粗心，还是解答方法不对，又或是基础知识没有掌握牢靠等等.学生应当对于出错的原因都要进行分析，所以错题的整理与反思是提升学生解题能力的关键，教师在解题教学中要注意指导学生对错题的分析，并要求学生能够在错题本中写出解题的思路以及自己的不足，从而避免同类错误的发生.例如，在作答“已知函数f（x）的定义域为［0，1］，求函数f（x+1）的定义域”这一题目时，很多学生是这样作答的：由于函数f（x）的定义域为［0，1］，即0≤x≤1，∴1≤x+1≤2，∴f（x+1）的定义域为［1，2］.之后笔者让学生回忆自己的理解思维和解题过程，分析自己出错的原因并写在错题本上，其中一位学生这样写道：由于自己没有理解和掌握已知原函数定义域求复合函数定义域的方法，所以给出了错误的答案.正确的解答过程如下：由于函数f（x）的定义域为［0，1］，即0≤x≤1，∴0≤x+1≤1，∴-1≤x≤0，∴f（x+1）的定义域是［-1，0］.总之，经过这个错题的分析让学生能够做到查漏补缺，能够找到自己的短板，加以改进和完善后得以提升.

3 提升高中数学解题能力的效果

3.1 学生的数学思维得到拓展

学生在解题教学的指导下，开始反思自己的行为，能够主动在课堂中做到举一反三，他们的学习能力和思考能力得到了提升，自己开始对题目进行深度思考，在变式中不断地拓宽思路，活跃解题思维，从而进一步地提升自己的综合水平，为强化个人的数学综合能力奠定基础.

3.2 学生的学习态度得到转变

学生在解题教学课堂中开始不断地对错题、难题进行整理，边整理边回顾自己在初次作答时的思路，之后在纠正中将问题解答.再者，学生们开始关注自己的弱项，如自己的理解能力差，容易忽视题目中暗藏的条件，那么就专门挑选一些这样的题目进行作答，在不断地练习中将弱项变为强项.因为自己的方法单一使得解题步骤繁琐，于是学生们开始搜集多种方法对不同的题目进行解答，如换元法、数形结合法等，做到以高效、合理的方式解题，提升自己的做题速度.总之，学生们在教师的指导下对数学的学习态度得以转变，主动对数学教学重点进行探究，自身的学习能力得到了提升.

3.3 学生的数学素养得到培养

学生们在解题教学课堂中不断地参与习题的训练，在题目的作答中树立模型意识，学会运用数学模型解决生活中的实际问题，并且在习题的解答中使数学运算能力得到了进一步的提升，学生可以不断地发展自身的空间思维，将抽象的题意以形象化的方式进行表达，在数形结合的过程中强化自身的数学抽象素养，培养自身的数学核心素养.

综上所述，高中数学解题教学的开展是提升学生数学综合能力的关键，教师在开展教学活动时务必从学生的角度出发，解决本质问题，让学生能够在老师的指引下消除对解题的恐惧，在掌握解题方法的过程中能够不断地思考和总结，攻克数学解题这一难关，在不断地积累和反思中提升自身的解题能力，树立数学思维，培养数学核心素养.

参考文献：

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［5］ 曹艷平.略谈高中数学教学中如何培养学生的解题能力［J］.高考，2019（13）：81.