结构不良问题视角下的前置性作业设计研究

洪金坚 黄翠莲

摘  要：“双减”政策对作业提出了新的要求，迫切需要改变作业的现状. 而现有的关注点大多数在课后作业，对于课前作业重视不够，未能有效利用前置性作业引导学生自学和培养学生的思维，无法达成课堂教学的顺利过渡. 结合具体实践，通过常见的纸的翻折问题，从结构不良问题视角对不同课型进行前置性作业设计，以窥前置性作业设计的方法与策略.

关键词：“双减”政策；前置性作业；结构不良问题；数学核心素养

新高考改革的推行和“双减”政策的落地，体现了教学从能力立意到素养导向的转变. 高考命题立足于对基础知识和基本概念的深入理解和灵活掌握的考查，反套路、反机械刷题.“双减”政策立足于减轻学生的课业负担. 对于传统的教学模式，两者都提出了新的要求. 如何更好地聚焦课堂教学，转变观念，在有限的课堂时间内更好地传授知识，培养学生的数学思维，首当其冲要解决的就是作业问题. 基于课题研究和教学实践，笔者认为作业不应该只是课堂教学的一个“尾巴”，而应该是实现课程目标的一个重要环节，与课堂教学一样，都是课程实施的重要途径.

前置性作业是课程教学的“急先锋”，它有效打破了传统的教学模式，能够引导学生先知先学. 学生通过前置性作业了解将要学习的内容，有了相应的思考，就可以避免知识的大跨度；教师通过前置性作业的反馈，更有针对性地进行课堂教学. 那么，如何进行前置性作业的设计呢？本着培养学生数学核心素养和拓展学生思维的目的，文章结合具体的课题研究和教学实践，从结构不良问题视角进行了实践与思考.

一、对结构不良问题与前置性作业的认识

1. 结构不良问题

结构不良问题主要指条件、结论和解决策略或方法至少有一个没有明确的问题. 结构不良问题为近几年高考的新题型之一，主要呈现条件缺失、结论开放或者策略选择多样等特点. 结构不良问题能够为学生提供多维度思考空间，更好地拓展学生思维的广度，激发学生的思维创新能力. 同时，结构不良问题增强了问题的开放度，引导学生更加注重思维的灵活性和创新性，着重考查学生的数学抽象、数学运算和逻辑推理等素养.

2. 前置性作业

前置性作业指教师针对课堂教学内容而在课前布置的作业. 前置性作业形式多样，可以是一个思考题，一个手工实践，一个问题串，或者针对微专题的典型例题. 前置性作业与学生当前所学知识体系紧密联系，立足于课前引导，让学生通过前置性作业进行课前自主思考和自主学习. 由于学生的学习能力存在差异，允许部分学生完成不了，但是要求无法完成前置性作业的学生找出自己的困惑和不懂之处，带着问题进课堂，从而使课堂学习的目标性更加突出.

3. 结构不良问题与前置性作业的结合

前置性作业为手段，结构不良问题为形式，两者有着相同的目标——激发学生的数学思维和培养学生的数学核心素养. 前置性作业与传统作业存在差异，所设计的问题主要起到引导思维和完善知识体系的作用，这就要求作业要从质量上进行控制，小切口、大思维，而结构不良问题的形式恰好有着这样的特征. 因此，以结构不良问题的形式进行前置性作业设计，既能满足课前的思维引导，又能减轻学生课堂学习的负担.

二、结构不良问题视角下的前置性作业设计实践案例

结构不良问题视角下的前置性作业设计主要分成两步：第一步，以基础知识的良好结构问题进行目标定位；第二步，以结构不良问题的形式依据课堂教学的需求进行前置性作业探究和设计. 下面以空间几何体中纸的翻折为例进行设计.

1. 结构良好问题呈现，紧扣知识

纸的翻折涉及从平面到空间的转化，蕴含动态的点、直线和平面的位置关系，紧扣长度和角度的变化. 因此，作业设计先以常见的问题背景载入，引导学生思考其中涉及的知识点进行问题探究，得出结构良好问题的形式，并做好相应的等价性探究.

（1）纸的翻折问题探究.

纸的翻折问题可以以点、直线和平面的位置关系为探究点，也可以以翻折过程中的距离和角度为探究点. 下面主要以距离和角度为探究点进行说明.

母题：如图1，已知一张矩形纸片ABCD，[AD=][3AB=3]，[E，F]分别为[AD]和[BC]上的一点，满足[AE=][2ED=2BF]. 现沿[EF]所在直线对平面[ABFE]进行翻折，形成一个[60°]的二面角，探究可知有如下结论：①[AC=2]；②[BC=6]；③[cos∠BFC=-14]；④[AC]与[EF]所成角为[45°].

问题探究：

结合题目所给条件[AD=3AB=3]和[AE=2ED=2BF]，

可知[AF=EF=CE=2]，[AE=CF=2]，[AF⊥EF，][CE⊥EF].

所以[FA， EC=60°].

利用空间向量计算[AC]，得[AC=AF+FE+EC=]

[AF2+FE2+EC2+2AF ? FE+2AF ? EC+2FE ? EC=2.]（结论①）

因为[FB∥EA]，

所以[cos∠BFC=cosEA， FC=EF+FAFE+ECEAFC=-14.]（结论③）

由余弦定理，可知

[BC2=BF2+FC2-2BF ? FCcos∠BFC=6]，

则[BC=6].（结论②）

所以[cosAC， EF=AF+FE+EC ? EFACEF=-22].

所以[AC]与[EF]所成角为[45°]. （结论④）

（2）结论的等价性探究.

结合问题的条件，可知翻折过程中的控制条件可以是角度也可以是距离. 通过[AC=AF+FE+EC=]

[AF2+FE2+EC2+0-2FA ? EC+0]可知，翻折过程中二面角的平面角[FA， EC]与[AC]刚好一一对应. 同时，翻折过程中，[cosAC， EF=AF+FE+EC ? EFACEF=][-2AC]，极端情况如图2所示，得到四边形[ACEF]为正方形，[AC]的取值区间为[2， 10]，则[AC， EF]始終为钝角. 因为[cosAC， EF=AF+FE+EC ? EFACEF=]

[-22]，所以[AC]與[EF]所成角为[45°]的位置只有一个，等价性检验符合.

结合上述等价性证明，从题设可以提炼出如下等价命题：①[AC=2]；②[BC=6]；③[cos∠BFC=-14]；④[AC]与[EF]所成角为[45°]；⑤ 二面角[A-EF-D]为[60°]；等等.

2. 结构不良视角切入，依需而设

同一个知识、同一个问题，不同的等价条件、不同的等价结论和不同的组合策略，所得到的学习效果是不同的. 依据不同的课堂教学需求，以结构不良问题视角进行前置性作业设计，可以更加精准地引导学生课前的学习和思考，更真实地展示学生对知识的掌握情况. 以结构不良问题的五种常见形式进行设计.

（1）条件开放型.

条件开放型作业设计适合概念、定义和判定定理的起始课. 这类结构不良问题立足于探究不同的条件是否符合概念、定义或定理. 通过这样的前置性作业，学生有足够的思维广度对所求问题进行思考，并在这个过程中加深对概念、定义或定理的认识，提升数学抽象素养. 结合母题，以二面角的定义为切入口进行了如下作业设计.

作业1：已知一张矩形纸片ABCD，[AD=3AB=3]，[E，F]分别为[AD]和[BC]上的一点，满足[AE=2ED=][2BF]，现沿[EF]所在直线对平面[ABFE]进行翻折，写出一个条件                   ，使得翻折成[60°]的二面角.

预设答案：①[AC=2]；②[BC=6]；③[cos∠BFC=][-14]；④[AC]与[EF]所成角为[45°]；等等.

上述作业设计，引导学生课前探究二面角的定义，并在这个基础上思考如何得到二面角的平面角. 同时，关注翻折过程中距离和角度的动态变化，以提升学生的直观想象和逻辑推理素养，即使学生未能得到准确的答案，也能直观感知翻折过程中的动态变化，以提升空间想象能力.

（2）结论开放型.

结论开放型作业设计主要服务于探究课堂，适合单元起始课，以学生的已有知识和认知水平进行题目的设计，不固定问题的方向，能够充分发挥学生的发散思维，帮助学生建构完整的知识体系，明确知识之间的关联，满足不同层次学生的需求.

作业2：已知一张矩形纸片ABCD，[E，F]分别为[AD]和[BC]上的一点，现沿[EF]所在直线对平面[ABFE]进行翻折，写出一个同时满足下列三个条件的结论             ，并给予相应的过程说明.

①[AD=3AB=3]；②[AE=2ED=FC]；③[AC]与[EF]所成角为[45°].

引导学生结合所给的问题思考，关注翻折的控制条件——[AC]与[EF]所成的角为[45°]，立足于所学的立体几何知识，思考此时得到的几何图形中点、直线和平面的位置关系，以及空间角和距离等问题，有效展示学生的思维. 结论不唯一，结合母题可知常见的预设答案：①[AC=2]；②[BC=6]；③[cos∠BFC=-14]；④ 二面角[A-EF-D]为[60°].

（3）条件与结论双开放型.

条件与结论双开放型作业设计适合大单元整体教学，尤其是章末复习课或高三专题复习课. 该类型作业中，条件和结论不是绝对的，可以自由组合，所组合的命题有正确的，也有错误的，能够有效反馈学生对知识的掌握情况，尤其是学生对应用定理的条件是否把握到位. 立足于母题，通过减少题干条件，提炼出相应的等价命题，达到条件与结论的双开放.

作业3：已知一张矩形纸片ABCD，[AD=3AB=3]，E，F分别为[AD]和[BC]上的一点，满足[AE=2ED]. 现沿[EF]所在直线对平面[ABFE]进行翻折，给出下列6个论断：①[AC=2]；②[BC=6]；③[cos∠BFC=-14]；④[AC]与[EF]所成角为[45°]；⑤二面角[A-EF-D]为[60°]；⑥[FC=][2BF]，选择其中两个作为条件，一个作为结论，写出一个你认为正确的命题，并证明或求解.

作业3的设计充分结合空间角和距离知识，结合母题可知①②③④⑤可以作为翻折的控制等价条件，所以可以组成⑥和①②③④⑤中的任何一个论断，推出另外4个论断. 通过母题的唯一性证明，可知翻折过程中①②③④⑤都具有唯一性，可以任意组合其中两个得到其他论断，但计算量会相对较大.

（4）策略开放型.

策略开放型作业设计主要服务于逻辑推理素养的培养. 以立体几何为例，常见的方法有两种：一是利用空间向量解决问题；二是利用几何法作图把几何体中的问题转化为平面问题解决. 通过条件的变化，把二面角调整为直二面角及其等价条件，引入空间直角坐标系来解决问题，使得选择的策略有所不同. 同一个问题让学生有不同的策略选择，有助于提升学生的数学能力.

作业4：已知一张矩形纸片ABCD，[AD=3AB=3]，E，F分别为[AD]和[BC]上的一点，满足[AE=2ED=FC]. 现沿[EF]所在直线对平面[ABFE]进行翻折，是否存在某个位置同时满足下列任选两个条件？①[AC=6]；②[BC=6]；③[AC]与[EF]所成角为[45°]；④ 二面角[A-EF-D]为直二面角. 若存在，给出相应的推理过程；若不存在，说明理由.

方向1：选择④，此时可以通过建立空间直角坐标系简化运算.

如图3，建立空间直角坐标系，则有[E0，0，0，]

[F2，0，0，C0， 2，0，A2，0， 2].

所以[AC=-2， 2，-2]，[EF=2，0，0]，

[FB=12EA=22，0， 22]，[FC=-2， 2，0].

策略1：选择④①，易得[AC=6]，与①一致，故满足条件.

策略2：选择④③，则[cosAC， EF=AC · EFACEF=]

[-33]，故不存在.

策略3：选择④②，则有

[BC=FC-FB=-322， 2，-22].

所以[BC=7]，与[BC=6]矛盾，故不存在.

方向2：不选④.

策略4：选择②③，由母题可知②③是等价的，故存在这样的位置.

策略5：其他选择（如①②，①③）都不存在.

（5）情境开放型.

情境开放型结构不良问题对于培养学生的发散思维有着至关重要的作用. 情境开放型结构不良问题适合探究课，执果索因. 情境开放的前置性作业，常以有生活实际背景的问题引入，学生借助生活经验和习惯，立足于自身的思考给出相应的答案，涉及数据收集、信息处理和计算，有利于多方位提升学生解决问题的能力，培养学生的数学思维.

作业5：已知一张A4纸，设计三种不同的翻折方式得到一个[60°]的二面角，并说说如何做到.

常见的翻折方式如图4～图7所示.

该作业设计的意图是促使学生查找或者测量A4纸的尺寸，探究翻折确定二面角的控制条件，最后对于所给出的解决途径进行数学上的论证. 学生经历了生活中实际问题的整个解决过程（直面问题—分析问题—解决问题），提升了在真实情境中处理问题的数学建模素养.

三、结构不良问题视角下的前置性作业教学启示

1. 教的啟示——因材施教

设计结构不良问题视角下前置性作业的目的在于反馈学生对问题的认知和充分展示学生的思维，让教师在课前充分把握学情，及时调整教学的侧重点，因材施教.

例如，通过前置性作业1的实测反馈，发现有相当一部分学生给出的结果为[AC=102]. 究其原因，这些学生对二面角的定义理解不到位，错把[∠AMC]当成平面ABFE翻折成的二面角的平面角（如图8），导致错解. 因此，在接下来的课堂教学中，教师要立足于该错误进行针对性教学. 一方面，强化学生对二面角定义的认知；另一方面，引导学生进一步辨析，从而更好地掌握知识.

这样的实测反馈精准定位到学生知识的薄弱点，提升了课堂教学的针对性，能够有效帮助学生突破课堂学习的重点和难点，体现教、学、评的一致性.

2. 学的启示——循序渐进

研究表明，中学生的学习大多数是在已有的知识准备上，基于问题或教师的引导，对新的知识进行思考和探究，实现新旧知识之间的平移过渡，最终建构完善的知识体系. 结构不良问题视角下的前置性作业起到的作用有两点：一是课前引导中的发现学习；二是辅助课堂教学中的接受学习. 学生通过发现学习和接受学习，达成对知识的渐进分化，融会贯通，完善认知结构.

例如，通过前置性作业5的反馈，发现学生在寻找[60°]的二面角的过程中较容易给出两种常见的折法，并给出相应的位置说明，如图4和图5所示.

这个属于课前的发现学习. 学生通过课前自主学习，初步明确了二面角的定义. 在反馈过程中，一部分学生给出了如图6所示的折法，但是却未能清楚地说出如何得到二面角，只是直观感知翻折到某个位置就可以得到[60°]的二面角. 这就需要课堂教学中的接受学习. 在课堂教学中，教师引导学生探究翻折过程中二面角的平面角的变化情况，从而解决这个问题.

作业5的设计引导了学生的课前自主学习，使学生初步发现和应用二面角的定义解决实际问题. 三种不同的折法需求引发了学生新的困惑，促使学生带着困惑进课堂，提升了课堂学习的有效性. 在这个过程中，学生经历了循序渐进的知识建构.

四、结语

以结构不良问题的形式进行前置性作业设计，能够达成教与学的相互促进. 在前置性作业的引导下，学生对即将学习的知识有了一定的了解和心理上的准备；在结构不良问题的形式下，学生的思维得到了一定的训练. 教师在前置性作业的反馈中能够对课堂教学做出有效调整，提升了教学的针对性，课堂氛围更加浓厚. 同时，真实情境问题与现有教学改革相吻合，凸显了对学生数学核心素养的培养.

参考文献：

［1］教育部教育考试院. 深入考查基础知识和能力  助力人才选拔和“双减”落地：2023年高考数学全国卷试题评析［J］. 中国考试，2023（7）：15-21.

［2］任子朝，赵轩. 数学考试中的结构不良问题研究［J］. 数学通报，2020，59（2）：1-3.

［3］周翔，郑传远. 新高考结构不良问题的探究与启示［J］. 数学通讯（下半月），2021（1）：47-51.