数形分析探其理 困难运算究其因

邹信武 董琦

摘  要：从“点到直线的距离公式”的实际教学案例出发，分析案例中存在的问题，以教材意图和公式推导中蕴含的数学思想为依据，将“微探究活动”分为提出问题、向量分析法和解析分析法、探究活动小结三个部分. 两类分析方法按先几何分析再数学运算的逻辑顺序设计问题，并在解析分析法中提出部分方法的优化方案.

关键词：点到直线的距离；微探究活动；数形分析；数学运算

一、“点到直线的距离公式”案例探讨

“点到直线的距离公式”是人教A版《普通高中教科书·数学》选择性必修第一册（以下统称“教材”）“2.3 直线的交点坐标与距离公式”第3课时的内容. 此前，学生已经学习了“空间向量与立体几何”“直线和圆的方程”等内容，本课是两点间的距离公式的进一步延伸，旨在引导学生开展推导“点到直线的距离公式”的微探究活动.

在一次教研活动中，几位执教教师都选择了“点到直线的距离公式”这节课，其中一位执教教师设计的课在现场取得了不错的效果. 其公式推导的主要教学过程如下.

问题1：如何求点[P2，0]到直线[l：x-y=0]的距离？

执教教师让学生分组讨论，并选择一名学生代表给出解法，然后进行归纳. 现场课中，学生归纳了5种方法（部分方法由教师提示）：（1）转化为点到垂足的距离；（2）等面积法求斜边的高；（3）倾斜角转换法；（4）利用函数思想求最小值；（5）向量法.

问题2：如何求点[P4，2]到直线[2x-y+2=0]的距离？类比问题1，哪些方法仍然适用？说出解法思路，不要求写出解答过程.

问题3：如何求点[Px0，y0]到直线[l：Ax+By+C=0]的距离？

师生分别使用问题1中的5种方法完成了公式推导. 其中，方法（2）和方法（5）由学生展示，执教教师予以完善；方法（1）、方法（3）和方法（4）由执教教师利用幻灯片展示主要推导过程. 最后，执教教师带领学生分析了方法（1）中计算的难点，提出通过“设而不求”构造目标结构，优化计算过程.

这位执教教师的教学设计，从具体的点与直线出发，引导学生归纳解决问题的方法，再将问题一般化，引导学生类比、迁移，得到公式的推导策略和具体推导过程. 整个过程教学逻辑清晰、学生参与度高，取得了不错的教学效果. 但是，如果对比教材的编排，从探究活动的组织与实施角度进行分析，仍然有一些值得商榷的地方. 主要体现在以下几个方面.

第一，缺乏统领性数学问题. 从特殊到一般，常常是对于一个未知的数学问题，通过特例研究，积累对这类现象（或问题）的了解，逐渐形成认识，进而掌握规律并归纳本质，得到一般性结论的过程. 上述案例中，执教教师没有提出一个未知且具有挑战性的数学问题，即问题1和问题2没有“大问题”统领. 这就导致学生只是机械地完成执教教师布置的问题，而不了解问题之间的逻辑关系，进而无法从数学思维的角度体会从特殊到一般的数学思想. 实际上，教材的处理方式是先提出问题3. 试想一下，把案例中的问题3放在最前面，再到问题1和问题2，可能更有利于学生领悟数学思想方法及数学地思考问题.

第二，从特殊到一般的设计的必要性有待思考. 从思维角度分析，案例中问题2和问题3对应的图形是类似的，也就是说这两个问题在思维分析难度上没有太大区别，甚至部分方法的难度是相同的；从代数运算角度分析，问题1和问题2是具体数值运算，问题3是含字母的代数式运算，运算的复杂程度比问题1和问题2要大很多. 对于问题3，解决问题的关键是：（1）学生明确已知和运算目标（利用点[P]的坐标和直线方程中的参数[A，] [B，C]表示[d]）；（2）通过几何关系的代数表达找到解题方法；（3）围绕计算目标合理设计计算路径，完成求解. 从这个意义来说，该案例中的从特殊到一般只体现在代数运算的进阶上，而没有体现在逻辑性的数学思考上，那么特殊运算对一般运算的帮助就不大了.

第三，重“探究方式多样化”而轻“思维引导与小结”. 在公式和定理的探究活动中，很容易出现多种多样的探究方式，甚至出现把探究方式的多样性与课堂精彩程度画等号的现象. 事实上，学生如果只是知道探究方法，而缺乏对数学原理和思想方法的认识，则偏离了探究的本质. 在上述案例中，缺乏对“如何想到”这些探究过程的引导，在展现多种探究方法后又缺乏对方法本质的反思和提炼，使得探究停留在表面上，大部分学生没有对其进行理性地分析与思考，自然不能将这些方法有效迁移到其他问题的解决中. 因此，对于上述探究活动，前面应该有教师引导学生分析图形中的长度和角度，以及翻译代数表达的过程，后面应该有对方法进行归纳总结和提升过程.

第四，哪种方法才是“自然”的？活动中，几位执教教师都选择先将问题转化为点到垂足的距离或使用等面积法求解. 但是在执教教师提问如何解决问题时，很多学生脱口而出的却是“向量法”. 这可能有两个原因，一是在先前学习中一直把向量作为解决几何问题的强大工具，使得学生对“向量法”有着较深的印象；二是在教材第一章内容的学习过程中研究过用向量法计算点到直线的距离和点到平面的距离. 因此，在学生的认识中，利用向量解决这个问题是非常自然的. 因此，教师在教学中可以先讲“向量法”，这样不仅符合学生的认知，而且在方法上也可以與前序内容保持一致，体现“几何与代数”主题的统一.

第五，探究活动中学生的数学活动体验不足. 在上述案例中，每名学生随机经历了1种方法的探究过程并听取了4种方法的讲授. 案例中的5种探究方法，虽然原理上都是用代数方法研究几何问题，但是从代数表达和运算上来说，向量法与其他4种方法是有区别的. 教材中也介绍了求点到垂足的距离和向量法这两种探究方法. 因此，在这个探究活动中，学生应该获得向量法和其他方法中至少1种方法的探究经验，这既满足该探究问题所承载的数学思想与方法的教育价值，也符合教材的要求.

二、探究活动再设计

1. 微探究活动说明

在数学探究活动中，结论往往不是最重要的，学生能够在探究过程中真正发生数学性思考、领悟数学思想方法、提升理性思维和科学精神才是关键. 笔者认为，虽然“点到直线的距离公式”的探究活动只是这节课的一个环节，属于微探究活动，但是其对加强学生对解析几何的认识和理解是非常有帮助的，具体体现为以下两个方面的价值.

第一，领悟坐标法的真谛，灵活运用数形结合思想解决问题. 这个探究过程是在学生已有的对点、直线、平面的感性认识的基础上引入坐标法，从代数角度对几何要素及要素间的关系进行观察、比较、分析、表达、运算和推理，并以运算形式呈现几何关系，最终达成由定性分析向定量分析的转化，这对发展学生的理性思维和科学精神是非常有帮助的.

第二，体会数形结合思想在数学计算中的双向作用. 在这个探究活动中，围绕点到直线的距离，在形与数的相互对应、转译和运算求解中，通过解法优化的前后对比，引导学生体会代数关系式的结构特征和几何特性对提高运算效率、化解运算难点的作用.

依据前文的分析，笔者在提出问题后，将推导“点到直线的距离公式”的探究活动设计成三个环节（如图1）. 环节1和环节2由教师引导学生分别使用向量分析法和解析分析法来解决问题，每个环节各自包含几何分析和数学运算两个阶段；环节3引导学生对探究活动进行小结.

2. 微探究活动设计

探究：几何问题的两个基本度量是长度与角度. 上节课中，我们推导了两点间的距离公式，它是我们研究解析几何问题的基础. 这节课中，我们来研究另外一种重要的距离——点到直线的距离. 如图2，已知点[Px0，y0]，直线[l：Ax+By+C=0]，如何求点[P]到直线[l]的距离？

[图2][O][Q][P][l][x][y]

【设计意图】开门见山，提出本节课的核心问题，并指出几何问题中的两个基本度量——长度与角度. 在指明本节课的探究内容与前序知识之间的关系的同时，为后续课堂中的几何分析埋下伏笔.

问题1：在教材第一章“空间向量与立体几何”的学习中，我们曾经利用空间向量求点到平面的距离、直线到平面的距离，我们可以从中得到启发，利用向量求解点到直线的距离. 基于图2，从向量的角度分析，已知与所求分别是什么？最终目标可能是什么样的表达形式？

追问1：能否用向量相关知识设计一个计算点到直线的距离的方案？

学生充分思考后，视学生回答情况，启发学生形成思路. 如图3，点[M]是直线[l]上一点，n是与直线[l]的方向向量垂直的向量，点[P]到直线[l]的距离就是向量[PQ]的模，而向量[PQ]其实就是向量[PM]在n上的投影向量，即[PQ=PM · nn].

追问2：一般地，我们把与直线的方向向量垂直的向量称为直线的法向量. 如何求出直线[l]的法向量n？

追问3：能否在整理求解思路的基础上完成计算？

【设计意图】问题1的目的是引导学生明确探究任务，从向量的角度厘清几何关系：点[P]的坐标、直线[l]的方向向量等，运算结果则是用[x0]，[y0]，[A]，[B]和[C]表示点到直线的距离. 追问1和追问2引导学生从图形中挖掘信息，确定计算路径、预判计算难点. 这样层次化的设问，一方面可以强化学生基于向量法思考探究几何问题的一般思维方法和步骤；另一方面，可以督促学生紧跟探究进程，避免部分学生掉队，保证学生获取相关的基本数学活动经验. 另外，由于学生已经利用向量在法向量方向上的投影计算过点到平面的距离，故学生对这个计算方法是比较熟悉的，引导学生以此为思维基础想到利用直线的法向量及转化为投影向量计算点到直线的距离并不困难.

问题2：我们利用向量法得到了点到直线的距离公式. 除此之外，还可以利用其他方法进行探究吗？回到图2，在平面直角坐标系中观察点[P]和直线[l]的几何关系，你能找到它们之间的代数表示及关系吗？这对我们计算点到直线的距离有什么帮助？

【设计意图】这是解析分析法中的几何分析环节，是决定学生能否展开联想解决问题的关键. 在此处，教师有意识地引导学生从图形中的长度与角度（即对应平面直角坐标系中的距离与斜率）方面進行分析，引导学生厘清哪些是已知量、哪些是可求量，充分理解图形中蕴含的代数关系. 例如，点[P]的坐标可以反映点[P]到坐标轴的距离，进而联想到过点[P]与[x]轴、[y]轴平行的直线与直线[l]的交点是可求的；由直线[l]的方程可求直线[l]的斜率，进而可求与直线[l]平行或垂直的直线斜率；等等.

追问1：能否基于刚才获得的已知或可求条件，设计一个或多个计算点到直线的距离的方案？

追问2：能否在梳理这几种方案计算步骤的基础上，选择其中一种方案写出计算过程？

为保证计算方法的多样性，可以分小组解答，每个小组选择一种方案进行计算，要求小组内的学生先独立完成，再进行小组内评议. 教师预留充足的时间让学生进行计算，随后让已经得到计算结果的学生代表展示计算过程，再让未得到计算结果的学生代表说明在计算过程中遇到的问题，师生共同分析、解决.

为了保障探究活动的顺利进行，教师事先要准备几种常见计算方案的详细计算过程，在课堂中重点介绍定义法、等面积法和倾斜角交换法，轴对称法和函数最值法的讲解情况视学情而定.

追问3：定义法求解的计算难点在于求垂足[Qx1，y1]的坐标和距离. 其实，我们的计算任务也可以看成以方程组[y-y0=BAx-x0，Ax+By+C=0] 的计算结果为条件，求[PQ=][x1-x02+y1-y02]. 观察已知式子与所求式子的结构特点，能否直接求出[PQ]？

追问4：受这个优化策略的启发，你能发现简化其他方案的计算步骤的方法吗？

【设计意图】从计算方法过程展示到计算方法优化，这是一个生生之间、师生之间思想碰撞的环节，是引导学生感受和学习数学运算的极好机会. 教师要利用这个环节展示解析几何的运算特点、技巧和独有的计算美感. 在数学运算中，代数关系式的结构特征和几何特性对提高学生的运算效率、化解运算难点起着重要作用，教师在解析几何教学中应该引导学生观察算式的结构特征，联想其几何意义，制订合理的运算策略，進而优化运算.

（1）定义法优化方案.

设垂足Q的坐标为[x1，y1，] 则[PQ=x1-x02+y1-y02.] 如果把[x1-x0，y1-y0]这两项看成一个整体，可以直接求出[PQ].

垂线[PQ]所在的直线方程：[y-y0=BAx-x0].

与直线 l 的方程联立，得[y-y0=BAx-x0，Ax+By+C=0.]

即构造[Bx1-x0-Ay1-y0=0，Ax1-x0+By1-y0=-Ax0-By0-C.]

策略1：分别将[x1-x0]，[y1-y0]看作一个整体求解，然后代入[PQ]的距离公式化简.

策略2：两式平方后相加，整理，得

[A2+B2x1-x02+A2+B2y1-y02=Ax0+By0+C2，]

化简，得[x1-x02+y1-y02=Ax0+By0+C2A2+B2.]

所以[PQ=x1-x02+y1-y02=Ax0+By0+CA2+B2].

【评注】这个优化方案关注了运算目标和已知条件之间的内在联系，并利用这个联系，设而不求，巧妙地避开了复杂计算，这是解析几何中常用的简化运算的方法.

（2）轴对称法优化方案.

设点[Px0，y0]关于直线[l]的对称点为[Pm，n]，则

[n-y0m-x0 · -AB=-1，A · x0+m2+B · y0+n2+C=0.]

[?Bm-x0-An-y0=0，Ax0+m+By0+n+2C=0.]

[?Bx0-m-Ay0-n=0，Am-x0+Bn-y0=-2Ax0-2By0-2C.]

后续计算与“定义法优化方案”相似.

【评注】这个优化方案与定义法的优化方案相似，如果教学中有学生采用轴对称法计算点到直线的距离，可以考虑在课堂上提示这个优化方案.

（3）等面积法优化方案.

如图4，过点P作x轴、y轴的平行线，分别交直线l于点R，S. 设[RxR，y0，Sx0，yS]，则[PR=x0-xR，]

[PS=y0-yS， SR=x0-xR2+y0-yS2].

故[PQ=PRPSSR=x0-xRy0-ySx0-xR2+y0-yS2=y0-yS1+y0-ySx0-xR2].

由直线斜率的定义可知[y0-ySx0-xR=kSR=-AB].

因为点[Sx0，yS]在直线[l]上，

所以[yS=-Ax0+CB].

代入上式化简即可求得[PQ=Ax0+By0+CA2+B2].

【评注】此优化方案利用了代数式中某些项隐藏的几何意义——直线的斜率，避开了复杂的距离化简运算. 它和倾斜角转换法有异曲同工之妙，建议安排在倾斜角转换法之后介绍.

问题3：回顾探究过程，思考并回答以下几个问题.

（1）我们解决了什么问题？得到了什么？

（2）我们通过什么途径和方法获得它？你能归纳出探究的一般步骤吗？

（3）在求解过程中，我们遇到了什么困难？怎么解决的？你有什么体会？

（4）得到这个公式后，我们还可以计算或研究哪些问题？

【设计意图】从假设与所求、路径与方法、反思与体会、推广与应用4个方面小结探究过程，升华探究活动的内涵. 此过程中注意引导学生归纳图1中向量分析法与解析分析法解决解析几何问题的一般步骤.

三、结束语

唯天下之至诚能胜天下之至伪，唯天下之至拙能胜天下之至巧. 在数学教学中，教师引导学生围绕真问题，进行真思考、真辨析、真反思，少一些解题套路的训练，多一些数学思考的探究活动，是带领学生走出题海，提升教学效果的重要途径. 对此，教师要加强对数学知识和《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》的理解，以数学知识的发生发展过程为依据，挖掘其中的数学思想，设计切实可行探究环节，让数学课堂真正成为发展学生思维的殿堂.

参考文献：

［1］苏洪雨. 基于问题设计的数学微探究评价体系构建［J］. 数学教育学报，2019，28（1）：23-28.

［2］章建跃. 核心素养立意的高中数学课程教材教法研究［M］. 上海：华东师范大学出版社，2021.