求含有根式的函数值域的几个“妙招”

徐影

含有根式的函数式通常较为复杂.求含有根式的函数的值域，往往要先确保根式有意义，据此求得函数的定义域；然后根据根式的特征及其关系，选用合适的方法进行求解.下面结合实例，介绍一下求解含有根式的函数值域的几个“妙招”.

一、利用函数性质

若函数式中只含有一个根式，往往可以直接判断出根号下式子的单调性，并将根式看作幂函数 y = x ，利用判断复合函数的单调性的方法——同增异减，来判断出函数式的单调性，进而利用函数的单调性来求函数的值域.

例1.求函数 y =的值域.

解：因为cos x ∈[-1， 1]，4- cos x ≥3，

而 y = cos x 在[0，2kπ+π]上单调递减，

在[2kπ+π，2kπ+2π]上单调递增，

且 y =在[0，+∞]上单调递增，

所以函数 y =在 R上单调递增，

可得≤≤，

所以函数的值域为[，].

该函数式由余弦函数 y =4- cos x 与幂函数 y = x 复合而成.因此需在确定函数的定义域后，分别讨论两个函数的单调性，再根据复合函数的性质判断出函数 y =的单调性，进而根据函数的单调性求得函数的值域.

若函数式中含有两个根式，形如 y =-，其中 a 、b 、c 、d 均为常数，则需先将函数式平方，以减少函数式中根式的个数，或者去掉根号，把函数式转化为只含有一个根式或不含有根式的式子；再讨论函数的单调性，即可利用函数性质法，根据函数的单调性求得函数的最值.

例2.求函数 y =+的值域.

解：

将函数式平方后，可将函数式化为只含有一个根式的式子：10+2 .然后将根号下的二次式配方，即可根据二次函数的单调性和 y =的单调性，求得 y =+的值域.

例3.函数 f（x）=+5的值域为_______.

解：

我们很难根据函数单调性的定义判断出函数的单调性，于是先分别讨论分子、分母在定义域内的单调性；再根据“增+增→增”来判断出函数的单调性；然后利用函数的单调性求得函数的最值.

二、换元

换元法是求解含有根式的函数值域问题的重要方法.运用换元法求含有根式的函数的值域，需选取合适的式子进行换元，通常可将根式或根号下的式子用新元替换，这样便能去掉根号，简化函数式，从而将问题转化为常规函数最值问题来求解.需要注意的是，在换元的过程中，要确保新元、旧元的取值范围是等价的.

例4.求函数 y =-的值域.

解：

例5

解：

该函数中只含有一个根式，可直接令 18 - 3x = t， t ≥ 0 ，即可用t替换x，去掉根号，将含有根式的函数值 域问题转化为二次函数最值问题.再利用二次函数的 图象和单调性进行求解，便能求得问题的答案.

例6

解：

例7

解：

该函数式中含有两个根式，可根据其隐含关系式3（）2+（）2=9，分别将两个根式换元，令= cos θ ， =3 sin θ ， 再将其代入目标函数式中，得 y =2 sin（θ+）.这样就可以根据θ的范围以及正弦函数的有界性快速求得函数的值域.

对于形如 y =+（a 、b 、c 、d ∈ R）的函数式，往往可以根据隐含的关系式进行三角换元，这样便可通过换元，将问题转化为三角函数最值问题来求解.

三、构造向量

对于形如 y = m + n 的函数，通常可将函数式视为=（m，n）和向量=（，）的数量积，根据向量数量积的坐标公式和向量的坐标运算法则，求得函数的值域.

例8.

解

我们根据函数式的结构特征以及向量的数量积，构造出向量=（3，4）和向量=（，），便可將函数式化为向量关系式，利用向量之间的关系：?≤|||| ，寻找到取得最值的情形：与同向，即可解题.

可见，求含有根式的函数值域的方法很多，且每种方法的适用情形均不相同.在解题时，同学们不仅要仔细研究函数解析式的结构特征，发现根式之间的隐含关系；还要灵活运用函数性质、换元法、构造向量法，这样才能快速求得函数的值域.

（作者单位：西华师范大学数学与信息学院）