运算能力：基于“情境”的培育实践

徐海波

［摘  要］ 情境是培育学生运算能力的重要载体和媒介。在小学数学教学中，教师要有意识地创设经验性的情境、问题性的情境、操作性的情境、比较性的情境，促进学生有效整合运算内容，使学生学会研究并理解运算的每个步骤，充分感知运算的作用。所以教师在数学教学中除了教会学生算法，还要教会他们去理解其中的算理，掌握好相应的策略和运算技巧等。只有让学生在情境中学习数学，并且积极主动地经历运算的全过程，才能助推学生建构、创造完整的运算意义。

［关键词］ 小学数学；运算能力；情境培育

在小学数学核心素养的培养中，运算能力是不可缺少的一部分。对于小学生来说，有效培养其运算能力至关重要，可有效提升学生的运算素养。在学习运算时，学生除了要掌握相应的运算法则，更重要的是要理解运算的意义。在小学数学教学中，教师可以创设相关的情境，将相关的运算算理等融入、渗透在情境之中。通过引导学生的情境感知、情境操作、情境想象等，不断地提高学生的数学运算能力，有效发展学生的数学核心素养。通过创设相应的教学情境，让学生完整地经历运算的全过程，从而助推学生建构、创造完整的运算意义。

一、创设经验性情境，促进学生的运算感知

情境的种类很多，主要有经验性情境、问题性情境、操作性情境、对比性情境等。不同的情境具有不同的特质和不同的育人功能。教师要充分地彰显情境的育人价值。首先是基于学生生活的经验性情境。经验性情境是情境创设的一般方式。相较于其他情境，经验性情境更贴合学生的学习和生活实际，也更能获得学生的认同和响应。经验性情境能有效地促进学生的运算感知，增强学生的直观感受和体验。提升学生的运算能力，不仅要让学生“算”，而且要让学生理解运算的意义和价值，让学生对运算不仅“知其然”，更“知其所以然”“知其所以应然”。

比如教学“运算律”这部分内容，重要的是要引导学生认识和理解“运算律的内容”，把握“运算律的形式”，并积极展开“运算律的应用”。对于抽象的“运算律”，教师不应机械、枯燥地说教，而应着力引导学生理解“运算律”的意义。例如在教学“加法结合律”这部分内容时，笔者就创设了这样的生活化情境：学校举行运动会，班上有25个男生跳绳，17个女生跳绳，13个女生踢毽子，跳绳和踢毽子的一共有多少人？通过这样的问题引导学生进行不同维度的思考，如“先求一共有多少人跳绳，再求跳绳和踢毽子的一共有多少人”“先求女生有多少人参加跳绳和踢毽子，再求跳绳和踢毽子的一共有多少人”。通过这样的经验性情境，学生加深了感知和理解，从事例层面理解了“加法结合律”的运算结构，促进了数学认知的建构。不仅如此，笔者在教学中还引导学生解读情境和意义中的算式，通过现成的算式，引导学生赋予算式意义，并通过意义赋予，让学生的数学学习成为可能。同时，学生在开展运算时能主动地将其与生活、经验相关联。这种关联，指的是让学生学会用数学的眼光去看待生活，并在思考生活时用数学的大脑去分析问题。

经验性情境让学生的数学运算学习充满了“生活味”。运算不是纯粹的纸笔数理、算理的推演，也不是纯逻辑、纯形式的计算，应当凸显运算的意义。如“四则运算”中的加、减、乘、除，“加法代表着合并”“减法是加法的逆运算”“乘法是诸多相同加数加法的简便运算”“除法是乘法的逆运算”，等等。通过理解意义，学生能洞察运算的本质，体会到法则之间的内在联系。

二、创设问题性情境，促进学生的运算思考

“问题”是数学的心脏，也是数学学习的动力引擎。在小学数学教学中，教师要学会创设“问题性情境”。借助“问题性情境”，学生可以更好地开展运算思考。“问题”是学生进行数学运算的基础，也是学生开展运算学习的动力所在。因此，“问题”是学生展开思考的支撑，能帮助学生更好地开展数学计算工作。教师不仅要善于研发问题，而且要善于修正、完善问题，要让“问题”既契合数学运算知识的本质，又能切入学生数学运算学习的“最近发展区”。

可见，开展问题性情境教学，可以让学生的运算思考从低阶走向高阶。比如教学“两位数乘两位数”，教师不能只让学生掌握运算的形式，如“先用第二个因数个位上的数分别乘第一个因数每一个数位上的数”“从个位乘起，再用第二个因数十位上的数去乘第一个因数每一个数位上的数”“最后把两次乘得的积相加”，更要引导学生思考“用第二个因数的个位、十位分别乘第一个因数的每一个数位上的数的意义”，即“第一次相乘代表有多少个一”“第二次相乘代表有多少个十”。教学中，教师可以通过创设具体的问题情境来启发学生对算理的理解。如“用个位上的2乘12代表什么？”“代表2千克苹果多少元？”“用十位上的3乘12代表什么？”“代表30千克苹果多少元？”“30千克苹果可以看成多少个10千克苹果？”“所以用十位上的3乘12得到的积表示什么？应该怎样书写？”等等。通过问题的指引，学生能够熟悉“两位数乘两位数”运算过程中的每一步计算的算理。通过引导学生认识每一步的算理，能让学生有效地建构运算法则，认识运算的内在机理。问题情境不仅富有生活性、经验性，同时还富有启发性、引导性。借助问题情境，教师能激发学生对“算理”的深入思考、深刻探究，能助推学生对“算法”积极且有意义的建构和创造。

在数学运算教学中，教师还可以引导学生基于“情境”自发地提出相关的问题。例如学生在运算过程中会积极主动地反思：这一步运算算的是什么？这一步为什么这样算？这一步运算为什么这样书写？等等。相较于教师提出的问题，学生所提的问题更具有现实性、启发性、引导性。如在上述的教学过程中，面对“两位数乘两位数”的运算，教师也可以引导学生提出问题，并针对问题开展深入的分析与研究。“问题”能将学生带入运算的“核心地带”。

三、创设操作性情境，促进学生运算能力的提升

构建运算法则时，教师一定要将抽象的算理演绎过程轉化为学生的具身性操作。创设操作性情境，能促进学生的运算探究、运算建构。心理学研究表明，小学生以直观思维为主，再融入具体思维。因此，引导学生进行算法操作时，要注意将算法操作与算理结合起来。创设操作性情境，引导学生进行算法探究时，一定要激发学生的运算思维和运算想象，避免让学生沦为单纯的“操作工”。

比如教学“十几减9”这部分内容时，部分教师往往不注重引导学生建构多样化的算法，而仅仅着眼于学生“会计算”。其实，多元化算法能有效提升学生的数学学习力、发展学生的数学核心素养。实践证明，学生的运算方法在建构时非常丰富，如“平十法”“破十法”“依次相减法”“算减想加法”等。教师要善于对学生的算法操作进行引导，启发学生将算法操作转化为算法建构。以“13减9”的教学为例，当学生拿出1捆小棒和3根小棒之后，教师要启发学生：1捆小棒和3根小棒代表多少？从这么多的小棒中拿掉9根小棒可以怎样拿？你准备先拿几根小棒，再拿几根小棒？哪一种拿法更方便快捷？通过对操作的指导和比较，教师引导学生建构多样化的算法，并对算法进行比较。在这个过程中，教师尤其要突出“13减9”的核心算法——“破十法”。“从1捆小棒中可以直接拿出几根小棒？”“还剩几根？”“可以将这剩下的1根和几根合并起来？”“13减9可以怎样算？”具身性的操作情境可以引导学生进行有效的算法探究。通过比较，学生可以明确各种算法的特点，如“破十法”的快捷、“平十法”的巧妙、“依次相减法”的繁杂、“算减相加法”的自然等。这些多样化的算法是学生具身性操作抽象化、形式化、数学化的产物。在这个过程中，操作让运算算理有效外显，也让数学学科的算理得到有效的体现。同时，算理让操作有所指向，即算理可以让学生的操作有针对性、方向性、目的性等。教师要促成学生的具身性操作有效地转化为运算法则，内化为运算素养。

操作性情境是一种半直观、半具体的情境，也是一种具身认知的情境。操作性情境能帮助学生建立操作的表象，而操作表象是学生算法建构的基础。操作是学生运算思维的外援性支撑，运算思维是操作的内隐性支援。置身于操作性情境之中，学生能够积极主动地实践和探究。学生在做中学、在做中思、在做中悟，“做与思”紧密结合、相伴相融。通过操作，学生能够积极主动地建构、创造算法。

四、创设比较性情境，促进学生的运算整合

在数学学科中，很多算法的表现形态不同，但其本质还是相通的。教师要创设比较性的情境，将不同的算法纳入其中，引导学生进行比较，从而让学生进行算法的有效整合，助推学生建构更高阶的算法，形成一种算法的“大概念”“高观点”。这些算法的“大概念”“高观点”有助于学生对算法的积极迁移和应用。

比如教学“小数加减法”这部分运算的时候，笔者就放手让学生探究。如对于“3.25+1.8”这样的小数位数不同的小数加减法，学生很容易受到“整数加减法”法则表述的负迁移影响，将小数的末位对齐。为此，教师应当引导学生积极主动地探索，如给小数加上单位，变成“3.25元+1.8元”“3.25千克+1.8千克”等。借助“元和元合并”“角和角合并”“千克和千克合并”“克和克合并”，學生能更好地理解算理。借助生活事例，学生能积极主动地建构算法。在此基础上，笔者引导学生对算式本身进行思考：十分位上的数和哪个数位上的数对齐？百分位上的数呢？将什么对齐就能保证十分位上的数和十分位上的数对齐、百分位上的数和百分位上的数对齐？如此，学生就能深刻地理解“小数点对齐”是“小数加减法”法则的“牛鼻子”。同时，笔者将“整数加减法”法则与“小数加减法”法则进行比较，从而让学生认识到“小数加减法”和“整数加减法”的内在一致性——都是数位对齐，都是计数单位相同。通过比较，学生能形成更加上位的认知，即“只有计数单位相同才能直接相加或相减”。这样的一种加减法运算的上位认知，不仅能促进学生理解算理、建构算法，而且有助于学生的积极迁移，对学生后续学习“异分母分数加减法”的法则具有重要的意义和价值。

创设比较性情境，不仅有助于学生掌握相关运算的法则，而且有助于学生把握相关运算法则之间的关系。从某种意义上说，数学学科中的诸多算法都具有结构性和整体性。在小学数学运算教学中引导学生比较算法法则，能让学生在变（法则的具体表现及形态不同）与不变（算理相同）中形成更深层次的感悟。这样的一种比较，能让学生把握相关算法的共同点与差异。

学生的运算能力、运算素养等的培育并不是一蹴而就的。教师要通过引导学生建构算法、理解算理，在他们的心里建构运算的相关运算图式。运算图式是一种内隐的算法，是沉积在学生心里的算理的凝聚。这种“凝聚”是必要的、必需的，它能有效地指导学生的外在运算。在教学时，教师要注意算法的构建，使学生更好地理解算理，让学生掌握相关的运算策略、运算技巧等。这些运算策略、运算技巧不依靠教师外在的灌输，而依靠学生内在的感悟。只有这样，才能有效地提升学生的运算能力，发展学生的数学核心素养。