从量纲的角度辨析分数意义

牛延凯 曹红

［摘  要］ 实际问题中的分数兼具量纲性和无量纲性的特点，有量纲性分数是一种“量”的意义模型，表征一个具体的量；无量纲性分数是一种“率”的意义模型，表征两个量之间的关系。通过辨析两类分数的具体内涵，可以在分类讨论中提高分数问题的理解效率。

［关键词］ 分数意义；量纲性；分类讨论

分数的出现是数系的第一次扩充，作为抽象的数，分数本质上是无量纲的［１］，但是具体到实际应用中，脱离了自然数的学习经验，分数兼具量纲性和无量纲性的特点［２］。生活中接触到的分数实例可以分为两类：（1）有量纲性的分数，量纲用于表征物理量的客观属性，而在小学数学中，常用量纲下的各种名数表征数量标准，如绳子长米、吃了块饼（分大饼中的“小块”看作是一种临时用的名数［３］）；（2）无量纲性的分数，如读了一本书的，男生人数占女生的。一方面，学生容易混淆两类分数之间相关而又不同的意义；另一方面，两类分数之间的意义辨析过程也是学生深度理解分数概念的一个契机。

根据是否有名数这一特点，有量纲性分数和无量纲性分数的外在形式容易区分，是一种天然的分类方式，通过探究两类分数的不同内涵和处理技巧，学生在思考分数问题时可以有不同的分析倾向并找到对应的理解角度，进而在分类讨论中简化分数意义的理解难度，提高分数问题的理解效率。

一、有量纲性分数和无量纲性分数是两种不同的意义模型

（一）有量纲性分数是一种“量”的意义模型

实际问题中出现的有量纲性分数是一种“量”的意义模型，表示具体量的大小。在数系扩充到非负有理数后，分数比自然数更能准确地刻画事物的“量”的特性，实现数学的“量化思想方法”意义［４］。这一类分数在生活中有对应表征的实际数量，如米的绳子表示绳子的具体长度，个饼表示饼的实际大小。

有量纲性的分数更多关注了基于产生过程的分数，在平均分的过程中，人们需要找到一个分数来刻画大于0小于1的量，即整体中的这一部分具体有多大。教学中借助分和数的过程认识这一类分数，如华应龙老师所说，分数的意义是先分后数［５］，分之后即确定了分母和分数单位，数是为了数出有几个这样的分数单位，即确定分子。在人教版三年级上册“分数的初步认识”中，学生接触的主要是这种分数的产生式定义方式，如1个饼平均分成3份，数出其中的2份即个饼；1米的彩带平均分成10份，数出其中的3份是米。可见，有量纲性分数和产生式的理解过程可以对接学生的生活背景以及前期除法的平均分经验，进一步抽象时，也可以运用面积图的方式在几何直观中帮助学生感悟分数意义，学生理解起来相对容易。

（二）无量纲性分数是一种“率”的意义模型

实际问题中出现的无量纲性分数是一种“率”的意义模型，表示量之间的关系，在数系扩充到非负有理数后，分数比自然数更能准确地刻画数量之间的“率”的关系。这一类分数在生活中没有对应表征的实际数量，而是用于表示数量之间的分率关系，如读了1本书的，不代表实际页数多少，而是表征部分和整体间的分率关系；男生人数占女生的，表示男生人数和女生人数的分率（比率）关系。

无量纲性分数关注更多的是作为比较结果的分数，具体包括两种类型：部分量和整体量的比较结果——部分在整体中占了多少份额，并进一步拓展到两个不同量之间的比较结果——一个量占了另一个量的多少份额。在人教版五年级下册“分数的意义”一节中，学生开始大量接触这种作为比较结果的分数，如将盘子中的8块面包看作一个整体，2块面包占了其中的，这里的是部分量和整体量比较后的结果，需要借助包含除计算，8÷2=4份，2块面包占据了4份中的1份。对此张奠宙教授认为，分数问题中求一个量占据的份额是算术模型，是纯粹的数量问题，因此学生理解起来相对困难，但是它在数学上更为深刻［６］。

二、从分数与除法的关系角度理解有量纲性分数与无量纲性分数

分数的出现有两种主要推力：（1）现实生活计数的需求，即在度量和平均分时需要借助分数表示小于1的量；（2）数学内部发展的需求，即除法运算的封闭性需要借助分数表示运算结果，由此分数与除法之间的迁移联系也是理解分数意义的重要基础。学生接触了两类除法——等分除与包含除，以此为基础可以进一步认识作为“量”的分数与作为“率”的分数，辨析有量纲性分数与无量纲性分数的不同内涵。

（一）等分除角度理解有量纲性分数

有量纲性分数主要对应了等分除的商。等分除是将一个物体平均分成若干份，求其中一份是多少，在不能整除时需要借助分數表示每一份的数量，如人教版教材“分数与除法”一节中，3个月饼平均分给4人，每人分多少，即是一种等分除模型，每人分到的不是整数个，需要借助分数表示，即个月饼。

（二）包含除的角度理解无量纲性分数

无量纲性分数主要对应了包含除的商。包含除是知道每一份的数量，求整体中包含了这样的几份，不能整除时需借助分数表征，同时其逆向关系即这一部分占据了整体多少份额时，也需要借助分数表征。如12个苹果，每盘放3个，可以摆4盘，即12里面包含了这样的4份，反过来，每盘的3个苹果看作整体（12个苹果）的。

（三）无量纲性分数所表示的分率关系是倍数关系的拓展

无量纲性分数在表示两个量之间比较关系时，可看作是倍数关系的拓展。除法单元中，在包含除的基础上可以扩展形成倍的概念，包含除侧重“有几个几”的理解过程，可以引申为较大的数是较小数的几倍。引入倍的概念后可以更方便地分析两个量之间的比较关系，而其结果不能整除时需借助分数表示，和倍一样，这时的分数也没有量纲。

人教版教材“分数与除法”一节设计了这样一道例题：小新家养鹅7只，养鸭10只，养鸡20只，鸡的只数是鸭的几倍？鹅的只数是鸭的几分之几？以上两个问题有什么关系？

可以发现，两个问题都涉及了包含除计算模型，一个能整除——鸡的只数是鸭的2倍；一个不能整除——鹅的只数是鸭的。由此可见，无量纲性分数表示数量关系时，“分数倍与整数倍意义一样”［７］，在不能整除时，分数比整数更为精确地表征了两个量之间的倍比关系。

三、有量纲性分数和无量纲性分数应用题中的数量关系模型

教材在“分数的意义”“分数与除法”“分数的基本性质”等章节所编排的情境问题中，有量纲性分数与无量纲性分数常常融合在一起，学习者更容易感悟两类分数的本质一致性。而在“分数乘法应用题”“分数除法应用题”等内容中，有量纲性分数和无量纲性分数则需要分类讨论，两者有不同的数量关系模型和问题解决策略（以分数除法应用题为例分析）。

（一）有量纲性分数应用题中的数量关系模型

有量纲性分数表示具体数量大小，相关应用题可以迁移之前整数和小数应用题的学习经验，适用诸如总价=单价×数量、路程=速度×时间等数量关系模型。在原先经验基础上，有量纲性分数应用题处理起来并不复杂。

例1  一座大桥长800米，一辆汽车通过此桥用了分钟，这辆汽车1分钟行驶多少千米？（青岛版教材习题，路程÷时间=速度，列式800÷）

例2  修一条长12千米的公路，如果每天修千米，多少天修完？（北师大版教材习题，工作总量÷工作效率=工作时间，列式12÷）

（二）无量纲性分数应用题中的数量关系模型

分数应用问题之所以是小学的难点，主要是指无量纲性分数应用题。无量纲性分数在表征数量关系时，包括两种情况：部分量和整体量之间的分率关系以及两个不同量之间的比率关系。

无量纲性分数应用题中，学生无法直接应用前期经验中积累的路程问题、购物问题等数量关系模型，因此对于这类应用题，需要教师引导学生重新构建数量关系模型，并结合问题情境从多个角度应用模型。

1.部分量和整体量之间的分率关系模型

无量纲性分数表示部分和整体的分率时，其原始数量关系模型为：部分÷整体=对应的分率。以此为基础进一步演绎出两个数量关系式：整体×对应的分率=部分，部分÷对应的分率=整体，即知道整体量求部分量时用分数乘法，知道部分量求整体量时用分数除法，这也是理解分数乘法问题和分数除法问题的两个重要指导思路。

例3  小明体内有28千克水分，约占体重的，小明体重是多少？（人教版教材例题）

小明体重是整体量，体内水分是部分量，表示部分和整体的分率，根据分数除法关系模型——部分÷对应的分率=整体，即28÷=35千克。

结合学生的前期知识基础，可以类比低年级的包含除模型理解部分量和整体量的分率模型，两种模型之间是一种互逆关系，包含除模型需要分析整体中包含了几个部分，其逆向分析为部分占了整体的几分之几，即部分和整体之间的分率关系，此时产生的分数都是真分数。

2.比较量和标准量之间的分率关系模型

无量纲性分数在比较不同量之间的分率（比率）关系时，其原始数量关系模型为：比较量÷标准量=对应的分率。以此为基础进一步演绎出两个数量关系式：标准量×对应的分率=比较量，比较量÷对应的分率=标准量。

例4  我国幅员辽阔，东西相距5200千米，东西距离是南北的，南北距离多少千米？（人教版教材例题）

南北距离看作标准量，东西距离是比较量，比较量÷对应的分率=标准量，得5200÷=5500千米。

结合学生的前期知识基础，可以类比低年级“倍”的关系模型理解比较量和标准量之间的比率模型，如前所述，无量纲性分数表示的比较关系是倍数关系的拓展，能整除时需要分析比較量是标准量的几倍，不能整除时则需要分析比较量是标准量的几分之几，这时产生的分数往往是真分数和假分数并存。

3.从单位“1”的角度统一理解两种数量关系模型

可以发现，无量纲性分数的两种数量关系模型属于统一范畴的思维方式，而单位“1”的引入可以更好地把握以上两个关系模型之间的本质联系，即无论是整体量还是标准量本质上都可以看作单位“1”，单位“1”已知，求其他量（部分量或比较量）的过程借助分数乘法；而单位“1”未知，求单位“1”（整体量或标准量）的过程则借助分数除法。

4.从方程和比的角度辅助理解无量纲性分数中的数量关系模型

无量纲性分数问题的数量关系模型理解难度较大，而方程和比的介入可以帮助学生从不同角度把握其中的关系结构。

（1）方程借助了代数思维简化算术分析过程，在求整体量或标准量的过程中涉及大量逆向分析，因此多数教材没有引入分数除法关系式，而是根据分数乘法关系模型列方程解决除法问题，如例3中，可设整体量小明的体重为x，列出分数乘法方程，得x=28，简化思考过程的同时发展学生的代数思维。

（2）无量纲性分数中“率”的意义模型更接近于分数的“比的定义”，因此无量纲性分数中的数量关系可以从比的角度进一步表征，如例3的分数除法问题，小明体内的28千克水分约占体重的，即体内水分 ∶ 体重=4∶5，28千克对应了4份的质量，列式28÷4×5，可求出小明的体重。因此比的问题解决策略也可以帮助学生分析和理解无量纲性分数应用题。

史宁中教授认为“数学的本质是在认识数量的同时认识数量之间的关系”，在分数教学中，有量纲性分数的意义侧重于前者，而无量纲性分数的意义侧重于后者，两类分数相关而又不同，本质一致又表征了不同的意义倾向，因此对两类分数意义模型的辨析有助于学生深度理解分数概念，并进一步运用分类讨论的方式灵活处理分数问题。

参考文献：

［１］［６］ 张奠宙. 小学数学教材中的大道理［Ｍ］. 上海：上海教育出版社，２０１８.

［２］ 李莉，高娟娟. 追根溯源，探究分数的本质——“分数的意义”两次教学实践与思考［Ｊ］. 小学数学教育，２０２０（１７）：２９－３３.

［３］ 张奠宙. 分数的定义［Ｊ］. 小学教学（数学版），２０１０（０１）：４８－４９.

［４］ 范文贵. 分数的内涵有多大？——兼谈小学分数的教学［Ｊ］. 人民教育，２０１１（１７）：４３－４７.

［５］ 华应龙. 分数：先分后数——“分数的意义”教学新路径［Ｊ］. 人民教育，２０１１（０６）：３７－３９.

［７］ 赵莉，王春英，史宁中. 分数概念表述和分数除法运算的比较研究及其对教学的启示［Ｊ］. 数学教育学报，２０２１，３０（０３）：４６－５１.