性质应用，变式拓展

袁锐洪

摘 要：数学中一些相关的“二级结论”，对于解决数学客观题有奇效，也为问题的变式与拓展提供更多的条件.本文结合一道高考模拟题中有关抛物线焦点弦的最值问题，利用“二级结论”加以巧妙应用，合理开拓思维，变式拓展提升，引领并指导数学教学与解题研究.

关键词：性质；变式；抛物线；焦点弦；最值

借助数学基础知识与数学思想方法等总结归纳得到的一些相应的“二级结论”，往往特点明显，简单易懂，容易记忆，对于解决数学客观题有很好的帮助，倍受各方关注.本文结合一道高考模拟题，就抛物线的焦点弦中的一个“二级结论”的应用加以展示，阐述性质应用，进一步变式拓展.

1 问题呈现

问题 （2023届安徽省池州市普通高中高三教学质量统一监测数学试卷）已知抛物线E：y2=4x的焦点为F，过定点（2，0）的直线与抛物线交于A，B两点，AF与E的另一个交点为C，BF与E的另一个交点为D，则|AC|+2|BD|的最小值为____.

本题是一道求过抛物线的焦点的直线产生的弦长有关的最值问题，主要考查学生对于抛物线的定义及性质的掌握情况.针对本题的特点，适合利用坐标运算来解决，结合弦长的表达式的确定，合理消元转化，减少参数个数，并结合表达式的结构特征，利用基本不等式来确定最值.

5 教学启示

5.1 知识归纳，技巧总评

合理利用圆锥曲线中的一些“二级结论”，如以上的抛物线的焦点弦性质结论，对于问题的解决起到非常好的优化作用.而这些相关的“二级结论”，正是知识归纳与总结的结果.

而对于抛物线中过焦点有关的弦长计算，主要有两种方法：（1） 根据弦长公式，通过坐标运算，求出弦长表达式；（2） 借助抛物线的定义，通过几何运算，求出弦长的表达式；（3） 利用几何图形特征，通过数形结合来转化并进行几何运算与求解等.坐标运算是解决直线与抛物线有关的线段问题的最常用的方法，通过坐标运算可以把线段用坐标来表示，对于动点较多的情况，可以考虑结合题目的條件去寻找点坐标之间的关系，进而减少变量的个数，并最终转化为只含一个变量的表达式，再根据基本不等式求出最小值.

对于平面解析几何中相关代数式的最值问题，根据所求的表达式的特点，选择适当的求解最值问题的基本方法：函数的图象与性质、基本不等式、三角函数的图象与性质以及函数与导数等.

5.2 开拓思维，变式拓展

在实际解题过程中，要合理开拓解题思维，借助变式与拓展，合理引领学生对问题进行探索与研究，结合“一题多变”，从更多层次来挖掘问题的内涵与实质，由“一题”到“一类”，真正巩固数学基础知识，提升数学能力.

合理恰当的“变式”能多角度、全方位、高视角地理解数学基础知识.数学的魅力在于不断地“变化”，从“变”中找规律，从“变”中提能力.有“变”才能“活”，有“活”才能创新.探究、变式、引申、推广等更能促进数学的理解，成为研究数学问题的常用手段之一，同时也使得数学思维和数学能力得到更好的拓宽和加强，达到了举一反三，触类旁通的目的.