“丰实”学习过程，“扎实”模型构建——浅谈“乘法分配律”教学中的几点思考

江苏省常州市武进区牛塘中心小学 周小苏

运算律是小学数学最为重要的一部分内容，学习运算律是为了让计算变得更为简便。然而，现实状况却是学生缺乏自主进行简便计算的意识和良好的计算品质，教师对简算的本质理解也有失偏颇，以至于师生都普遍认为简算不简单，所以，运算律的实际教学效果往往不尽如人意。乘法分配律是运算律教学中形式最多、结构最复杂、应用最广泛、教学难度最大的内容。在实际教学中，教师常会局限于引导学生总结记忆法则，学生在教师的要求下简单机械地重复操练相关习题，对其实际内涵却所知甚少，一旦遇到外形较为特殊的变式就晕头转向。因此，原本简便计算的方法，却让学生在做题时频频出错，成为一大负担，学生学习的积极性和主动运用简算方法的意识也始终难以养成。造成如此现状的原因是多方面的，但笔者认为，最主要的原因是教学中学生对乘法分配律算理理解、本质体会、变式辨析、模型构建的不充分。因此，本文试图从以下几个方面寻找突破的方法，“丰实”学生的学习过程，“扎实”乘法分配律的模型构建。

一、情理相生，在情境中理解算理

乘法分配律的教学需要让学生经历模型构建的完整过程，好的问题情境能引导学生主动观察、发现、解释、建模，实现学生生活经验与数学世界的沟通联结，让乘法分配律的模型从学生现有的知识结构上“长”出来。创设情境时要从学生学习的逻辑和现实起点出发，要同时考虑学生现有的知识基础和生活经验，最大限度地贴近学生的生活经验，使情境不仅能给学生带来丰富的感性体验，激发学习兴趣，还能够引发充分的理性思考，从而真正理解算理。

（一）由情入理

苏教版数学教材中提供的“领跳绳”的例题情境就是与学生生活经验非常贴近的。在明确问题信息、学生自主列式后可以引导学生分别说一说两种不同列式的意义：（6+4）×24表示先求出四、五年级一共的班级数，再用总班级数乘每班领跳绳的根数就可以求出两个年级一共领跳绳的根数。6×24+4×24表示先分别求出四、五两个年级各领跳绳的根数，再把两个年级领的根数加起来求出一共的根数。学生在表述的过程中体会到不同的列式表示的意义不同，但最后的结果是相同的。以上过程看似简单，但学生却借助形象的情境感知理解了抽象算式的算理，为乘法分配律的模型构建做好了初步准备。

（二）由理生情

一般来说，教师在引导学生经历了上面“由情入理”的环节后就会让学生去观察，发现算式的特点，在用自己的语言简单表述之后就开始猜想验证。其实，此处大可不必操之过急，不妨带着学生来一场“由理生情”的编题体验。

出示算式：（8+12）×7、8×7+12×7，要求学生根据这两道算式进行编题。此时，学生的思维热情被点燃，个个跃跃欲试，编出的题目也是各不相同。教师展示其中一个：一本笔记本8元，一支钢笔12元，买7本笔记本和7支钢笔，一共要多少元？教师提问：这题是根据哪道算式编的？说说你的理由。学生各抒己见，在交流和思维碰撞中明确根据两道算式都可以编出这道题。教师又展示：7个班级参加跳绳比赛，各班分别派出8名女生和12名男生，一共派出多少名学生？学生再次思考并说明理由。教师明确：两道算式虽然外形不同，但都可以解决同一个问题，计算的结果是相同的。

“由理生情”需要的是学生对算理的准确理解。在编题和判断的过程中，学生经历了对两道算式结构的反复揣摩和思考，非常深入地感受到了“一式可编多题”“两式能解一题”，对乘法分配律的模型感悟比之前深入不少。

二、直观感悟，在形象处体会本质

四年级学生的思维正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，但这种抽象逻辑思维的形成仍然是建立在大量直观、感性经验的基础之上的。积累正确、丰富、直观的表象能让学生在形象处体会乘法分配律的本质，经历从直观到抽象、模糊到清晰的模型构建过程。因此，在乘法分配律的教学中，教师要根据教学内容向学生提供直观形象的学习材料，引导学生充分利用画图等直观手段来理解本质。

（一）数形结合

用“数形结合”的方法支撑乘法分配律的学习能帮助学生有效领会“分配”的意义，感受“公有的因数”的结构特点。以（8+12）×7和8×7+12×7两道算式为例，巧用几何直观，通过用不同的方法计算图形的面积让学生体会到无论是看成一个整体进行计算，还是分成两部分计算，结果都是相同的。更为重要的是，几何直观能帮助学生在头脑中形成深刻的图形表象，不用刻意、机械地记忆，也能深入理解乘法分配律的本质意义。

如果改动图1中的数据，并出示图2、图3，学生就会顺利得出（9+14）×8=9×8+14×8，（13+17）×10=13×10+17×10符合乘法分配律特征的等式。继续延伸，并将图上的数据分别换成字母a、b、c（见图4），此刻，不用教师追问，学生也会将（a+b）×c=a×c+b×c的等式很快说出来。

以上过程，借助丰富直观的图形表象，让学生经历了知识的形成过程，顺利地在形象处体会了乘法分配律的算理本质，建立了抽象的数学模型，成功归纳出了字母公式。

（二）画线段图

用画线段图的方法分析行程问题的数量关系也是帮助学生直观感悟乘法分配律意义的好方法。如小明和小华同时从两地出发，相对而行，小明每分钟行65米，小华每分钟行60米，3分钟后两人相遇，两地相距多少米？ 这是一道简单的相遇问题，列出（65+60）×3和65×3+60×3两道算式并解释其中的算理对于学生来说并非难事，但如能结合问题绘制出体现两种不同算法的线段图则更能促进乘法分配律模型结构的建立。

三、变式辨析，在转化中明晰方法

乘法分配律往往给学生“乱花渐欲迷人眼”的感觉，因为许多算式“长”的样子并不符合（a+b）×c或a×c+b×c的标准结构形式，学生一旦接触到多样的变式形态就陷入一片混沌，所以会觉得乘法分配律越学越难、越做越难。在日常教学中，遇到这样的情况，教师往往是通过反复练习来强化学生对各种变式的记忆，但效果极不理想。要想认识事物的本质就要拨开其表面的神秘面纱，对于这些“长”得不一样的算式如何通过辨析找到其与标准的结构形式的联系，并进行有效的转化让其“回归正常”才是关键所在。所以在教学中，教师要引导学生经历对各种变式结构及数据的充分观察、比较、思考，将变式转化成（a+b）×c和a×c+b×c两种标准结构中的一种，这样不仅能化难为易，解决各类较隐秘复杂的题型，还能在这种变式的辨析转化的过程中，让乘法分配律的模型更为清晰。

（一）变式一：一个数乘接近整百的数

如103×28，分析这样的变式可以先引导学生观察，初步明确它更接近两种标准结构中的哪一种。是否可以通过转化将其变成标准形式？学生在观察比较后会发现可以将其转变为“（a+b）×c”的形式，也就是（100+3）×28。随之，教师可以让学生尝试从意义的角度进行解释：算103个28是多少，先将103转化成100加3的和，然后分别算出100个28和3个28的结果，再将它们相加。最后总结：一个数乘接近整百的数，可以将接近整百的那个数转化成整百数加（减）另一个数的形式，从而变成乘法分配律的标准结构。

（二）变式二：积加（减）一个数

如99×52+52、101×48－48，这样的题型也是学生较容易出错的，教学时常用的方法是从意义上进行分析：99个52加上1个52也就是100个52，所以99×52+52=100×52；101个48减去1个48也就是100个48，所以101×48－48=100×48。尽管教师强调得很辛苦，但是学生依然错误频出，而且似乎觉得这样的题与乘法分配律没什么必要联系。外在结构的隐秘性让学生无法将其顺利纳入已知的模型结构，所以转化就显得尤为重要。其实，仔细观察后，学生不难发现这种类型的题与“a×c+b×c”的结构是较为接近的，可以得到99×52+1×52和101×48-1×48的标准结构形式，简算也就顺理成章。万变不离其宗，无论是以上两种常见的变式，还是其他形式的变式，只要通过辨析，将其转化成乘法分配律的标准结构，就能明晰解题的方法，学生头脑中的模型结构也在这个过程中得以不断强化。

四、实际应用，在练习中强化模型

模型的巩固强化离不开实际应用。如何让学生在应用中摆脱单纯模仿和机械重复的训练，充分调动学习的积极性并让学生感受到数学在生活中的应用价值，是首先要思考的问题。学习了乘法分配律之后进行灵活多变的自编题练习和经历解决生活问题时的算法优化的体验能强化数学模型，也能培养学生的简算意识。

（一）灵活自编

在乘法分配律的练习课上，教师可以在学生进行了一些基础练习之后，适当将一些标准结构的题改编成58×63+□×□的形式，并提问：想一想，怎样填写才能使这道题可以简算？学生一开始可能会填写成如58×63+25×63的形式，说明只关注到了“其中一个因数相同”，而没有关注到“另外两个数加减之后要能够凑整”。继续思考，学生不难得出：58×63+42×63或58×63+58×37。开放的练习形式对学生的思维更有挑战性，也更能激发学生的学习兴趣，在摆脱枯燥、乏味的同时强化了乘法分配律的模型。

（二）优化算法

在日常学习中，许多学生只有在题目明确要求用简便方法计算的情况下才会简算，这个与学生习惯笔算的思维定式有关，也说明学生对简算模型的实际应用还没有到非常自觉的程度。数学学习从生活出发，最终也必须回归生活。因此在练习中，教师应给学生提供鲜活的生活问题，引导学生养成分析数据特征的习惯，优化计算方法，将简算的思想贯穿数学学习的始终。如四年级学生回收废纸，一班回收了165千克，二班回收了235千克，如果每千克废纸可以卖0.6元，那么两班回收的废纸一共可以卖多少元？本题的数据有特点，稍加思考，学生不难发现可以简算，从而意识到：不仅仅纯计算的题可以简算，在解决生活中的实际问题时也常常要思考是否可以用简算的方法使计算更简便，从而实现数学在生活中的应用价值。

刘加霞教授曾说，把握数学的本质是一切教学法的根。乘法分配律的教学虽然是小学数学教学中的一大难点，但只要客观分析问题形成的原因，注重情理相生、直观感悟、变式辨析、实际应用，把教学真正落实到学生的困难处，就一定能把握其本质，做到“丰实”学习过程，“扎实”模型构建。