对一道经典试题的再研究

江苏省连云港市外国语学校 (222003) 陈 洋

《普通高中数学课程标准(2017年版)》要求“提升学生的数学素养，引导学生会用数学的眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界.”“高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科素养.”而解题教学又是提升数学学科素养的载体，因此，在平常的教学中，我们要善于发现有价值的数学问题，通过有效的教学手段，让深度学习发生，进而发展学生的核心素养.

1 习题呈现

题目过点P(2，1)的直线l交x轴，y轴的正半轴于A,B两点，O为坐标原点.求△AOB面积S取最小值时直线l的方程.

这是笔者在开学初新授苏教版《选择性必修一》(2019)直线方程章节时选的一道经典题目，这道题题干简洁、内涵丰富，解法颇多，直线搭台，不等式唱戏，是难得一道培养学生思维品质的好题.

2 解法探究

点评：从直线方程的点斜式入手，求出与x轴，y轴交点，代入面积公式，再利用基本不等式，这里要注意“一正，二定，三相等”的条件.

点评：直接从截距入手，利用基本不等式求解，运用基本不等式时，一定要注意成立条件.

点评：将其中一个变量用另一个变量表示，即消元，它是处理二元变量问题的基本方法，再通过添项，拆项构造基本不等式进行求解.

点评：用函数方程思想，转化成一元二次方程，利用根的判别式求解，注意△≥0只是保证方程有大于2的根的必要条件，要对S=4时，实数a是否大于2进行检验.

点评：由“1”想到三角代换，注意对参变量角θ的范围限制，再利用基本不等式求解.

点评：巧妙地构造定比，利用定比分点坐标公式，结合基本不等式求解.

图1

点评：引入“角参数”，利用解三角形知识，构造基本不等式求解.

点评：将其中一个变量用另一个变量表示，即消元，它是处理二元变量问题的基本方法，再利用导数求最值.

3 变式探究

变式(1)求过点P(2，1)且在两正半轴上的截距之和最小的直线方程；

(3)求过点P(2,1)且与两坐标轴围成一等腰直角三角形的直线l方程;

(5)过点P(6，4)作直线l交直线y=2x于第一象限内的点A，交x轴正项于点B，求△AOB面积最小值时l的方程；

4 结语

在上述解题中，不同层次的学生都能获得不同程度的知识构建机会，让他们感受到数学活动的快

乐和对数学学习的兴趣，激发了对数学探究活动的欲望.纵观上述解法，有必要对其进行比较、评价、筛选，甄别出最优的解法，或提出这些解法中易错点、注意点，或提炼出问题探索中发现的有价值的数学思想方法，培育学生的数学学科素养.课堂上数学题并不在于多，而在于充分挖掘每一道题的内涵与外延，使每一道题的功能达到最大化，对在课堂中的数学问题，不是简单地给学生讲懂，而要讲变化(式)、讲拓展、讲思辨(方法)，使学生以不变应万变，只有这样，才达到“授之以渔”的目的.