2022年新高考卷解三角形试题的多解与拓展*

广东省中山市实验中学 (528404) 杨沛娟 广东省中山市濠头中学 (528437) 张 宇

1.试题呈现

2.解法分析

3.解法探究

3.1 第(1)题解法

评注：此解法用到了诱导公式及三角形的内角和公式，思路清晰，解法自然.

评注：此法将已知条件转化为两条直线的斜率问题，数形结合，体现了数学内部各版块知识的一致性，能较好地考查到学生的数学思维能力.

评注：此法将已知条件转化为两角和与差的正弦及余弦，同时巧妙地对角进行转化，过程简洁，易于理解和掌握.

评注：此法运用同构思想，通过构造函数得到两角的关系，简洁明快.

3.2 第(2)问解法

评注：此法由正弦定理化边为角，通过角的换元代换，将三个变元转化成一个变元，然后运用基本不等式得出最值，思路清晰，易于理解，需注意的是取等的条件.

评注：此法运用正弦定理，再运用降幂公式，通过换元将其转化为函数的最值问题，然后用函数的单调性解决问题.

评注：此法将已知条件进行转化，然后化弦为切，运用基本不等式使问题得到解决.

评注：对于含有二次式的分式形式的最值问题，用判别式法是一种比较常见的方法.

评注：此法本质上与解法3是一样的.也可以由判别式法求得最值.

评注：解法6和解法1本质上是一致的，都是通过转化，然后直接用基本不等式求得问题的结论.

4 试题拓展

以上分别列举求解第(1)问和第(2)问的6种常见的方法，由于第(1)小问和第(2)小问相对独立，因此，在理论上完成此题的解法很多.限于篇幅，不再例举，留给读者作为练习.

经过进一步的分析探究可知，此题还可以进行如下的拓展.

5 教学建议

解三角形是近年高考试题中经常出现的试题，这部分内容主要涉及到正弦定理，余弦定理，面积公式及射影定理等.因此教师在进行这类问题的教学或复习时，要加强基础知识方面的练习，基础知识扎实了，解决此类问题的时候，就能尽可能地避免解题过程中出现多解、错解或漏解的情况.