浅谈以落实“四基”为出发点的高三数学复习课的建构

［摘  要］ 复习是高三数学课堂的主旋律，为了切实发展学生，提高复习教学有效性，教师要结合学情以落实学生“四基”为出发点精心筹备，从而通过精准定位、巧妙构思引导学生完成知识体系的建构，同时通过交流与探究促进学生综合运用能力和数学素养全面提升.

［关键词］ 复习；发展学生；有效性；数学素养

在传统的高中数学课堂，尤其在高三数学复习课堂上，部分教师常以“提高成绩”为出发点，将自己的知识和经验“强灌”给学生，导致学生创新意识和能力退化，学习中常出现“只知其然而不知所以然”的情况，片面认为数学学习就是对枯燥公式的计算，只要靠死记硬背和多刷题就能提升成绩，然事与愿违，学生的成绩并没有因“强记”和“刷题”而明显提升. 为更好地开展教学，发展学生思维，仅凭“讲授”和“刷题”是远远不够的，教学中教师不仅要引导学生学会如何获得客观知识，还要引导学生将其内化为自己的知识，从而形成自己的认知结构. 为了实现这一目标，在高三数学复习课堂上，除了关注学生“双基”的培养外，还应关注学生基本思想和基本活动经验的培养，引导学生多参与知识梳理、方法整合和思维提炼等过程，充分发挥学生的主体价值，这样既能丰富课堂内容，优化学生的认知结构，又能让学生通过亲身经历激发学习动机，深化知识理解，形成自己的活动经验，以此提升数学素养. 笔者带领学生复习“向量的概念及线性运算”时，对教学内容做了精心的预设，取得了较好的效果，现将教学过程和实施后的感悟呈现出来，以期抛砖引玉，引起共鸣.

教学过程的设计

教学过程的设计是整个复习蓝本的关键环节，也是教师复习思路体现的载体. 在高三复习阶段，将基础知识和基本技能以及基本思想和基本活动经验结合在一起，可以为学生在复习的过程中完善认知结构提供四个有效的支点. 根据笔者的复习经验，可以判定教学过程设计的主动权在于教师，而最关键的则是教师自身必须有明确的“四基”意识，只有明确了这一意识，并且在该意识的牵引下，教师所设计出来的复习流程，才能成为学生巩固所学知识、完善知识结构、提高解题技能、发展数学基本思想方法、丰富数学解题活动经验以及运用数学知识解决问题的有效途径.

1. 知识梳理

传统复习历来重视知识梳理，但更多的只是将知识结构图呈现在学生面前. 从考试要求的角度来看，这样的复习思路并不可取，因为其在客观上导致知识与题目分离. 当立足学生的“四基”进行培养时，知识梳理的一个很重要的目标就是帮助学生掌握基本知识. 掌握基本知识的判断依据，不是看学生能不能画出知识结构图，而是看学生在运用某一个或者某几个数学概念的时候，能否在自己的认知系统当中提取相关联的其他数学概念或规律. 也就是说，只有当学生认识到数学知识间的联系时，才算是真正掌握了基本知识. 为改变传统知识梳理的弊端，教学中教师不妨通过一些“小而精”的问题来检测学生的实际学情，从而让学生可以更好地认识自己、认识数学，结合自己的实际学情完成知识梳理，逐渐完善认知结构.

如设计如下习题：

题1 下列命题正确的是_____. （填序号）

①对任意的两个向量a，b，向量a-b与b-a是相反向量；

②在△ABC中，+B-=0；

③在四边形ABCD中，（+B）-（+）=0；

④在△ABC中，-=.

题2 下列命题错误的是_____. （填序号）

①若a∥b，b∥c，则a∥c.

②若a=b，则a=b；

③若=，则A，B，C，D四点构成平行四边形；

④在平行四边形ABCD中，一定有=；

⑤若m=n，n=p，则m=p；

题3 在△ABC中，=c，=b，若点D满足=2，则=_____. （用b，c表示）

设计意图：在梳理知识时，若简单地通过“师问生答”的方式进行知识回顾，难免会让学生感到枯燥乏味，而且这样梳理知识可能会将其变成简单的“炒冷饭”，不利于激发学生的学习兴趣，也不利于学生个体认知结构的完善. 基于此，教学中教师不妨在此环节引入一些“小题”，引导学生通过“实践”自主地梳理知识，以此提高自身的学习主动性. 同时，在实践操作中，教师可以引导学生从不同的角度思考和解决问题，并与其他同学进行互动交流，这样不仅可以深化学生对知识的理解，而且在交流和互动中可以积累解题经验，有助于解题能力的提升. 例如，对于题3，学生在交流中发现，求解本题时可以从几何角度和代数角度两个途径把用b，c线性表示为=b+c，进一步拓展得B，C，D三点共线的两种向量形式，即=k和=λ+μ（λ+μ=1）. 这样通过精心设计小问题，帮助学生完成知识的梳理并快速建立知识框架，为知识的迁移做好充足准备. 以小题为出发点，更容易激发学生的探究欲，有效避免简单重复概念、法则给学生带来的枯燥感，有利于提升学生的学习效率.

2. 方法整合

这里所说的方法，更多是指解题方法. 复习就是瞄准解题而去的，立足“四基”中的基本方法进行培养，教师应当认识到这里所说的基本方法并不是指简单方法，简单方法是基本的，但是基本方法却未必是简单的. 基本方法很多时候类似于“母方法”，其能够“生”（演绎）出其他很多的解题方法或解题思路. 正是因为看中了基本方法的这一价值，所以复习中教师要重视基本方法的训练，要让学生掌握基本方法，并且将基本方法迁移到其他的解题情境中去.

题4 如图1所示，在平行四边形ABCD中，M是BC的中點，N是对角线AC上的点，且=3，设=a，=b.

（1）用a，b分别表示，；

（2）用，分别表示a，b.

变式：如图2所示，向量，，在同一平面内，其模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°. 若=m+n（m，n∈R），则m+n=________.

设计意图：借助题4让学生在解决问题的基础上梳理出解决问题的常用方法，即代数法和几何法. 第（2）问的解决凸显了向量的代数属性，强化了平面向量中的基底思想，提升了学生解决问题的能力. 变式题可以引导学生多角度分析，尝试多种方法求解，引导学生通过交流和对比，理解坐标法的应用. 这样借助习题加深问题理解的同时，帮助学生形成了完整的方法体系，即代数法、几何法和坐标法，这也恰好与向量的三种表示形式相吻合，便于学生更好地理解知识方法，理解数学本质.

题5 如图3所示，在△ABC中，點O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若=m，=n，则m+n的值为________.

变式：已知点G为△ABC的重心，过点G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且=x，=y，求+的值.

设计意图：三点共线的向量形式的结论及应用是一个重要的考点，为此在教学中有必要进行巩固强化. 由O是线段BC的中点，可知=+；由M，O，N三点共线，可知=λ+μ（λ+μ=1）；又=m，=n，于是=+. 由平面向量基本定理可知=λ，=μ，故m+n=2. 从解题过程可以看出本题主要体现了“算两次”的思想，对向量“算两次”用同一组基底向量表示，得到一个线性方程，这是一个重要的算法，在解题中有着重要的作用. 变式题是原题基础上的一个变形，将中点变成了重心，进一步强化共线理论和“算两次”思想方法的应用. 这样通过应用实现了思想方法的提炼和整合，让学生在思想方法的指导下快速形成解题思路，提高解题效率.

3. 拓展提升

通过前面知识和方法的梳理和整合，学生的认知体系已逐渐趋于完善，为了更好地应对高考，提升学生的综合运用能力，在高中复习课堂上有必要加深一点问题的难度，进而实现知识的拓展和能力的升华. 实际上，拓展提升非常类似于新的情境的创设以及解题方法的迁移，这是非常重要的一个复习环节，也是学生解题能力提升的核心环节. 教师在复习的过程中致力于拓展提升，应当遵循两个基本原则：一是瞄准高考，分析历年的高考题型，帮助学生确定好数学解题方法运用的范围；二是瞄准学生，看看学生的能力基础在哪里. 如果能够遵循这两个基本原则，那么就能够在拓展提升的过程当中，切实有效地发展学生的解题能力，提升学生的解题水平.

题6 如图4所示，在△ABC中，E，F分别为AC，AB的中点，BE与CF相交于G点，设=a，=b，试用a，b表示.

题7 如图5所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，试用，表示.

设计意图：对于题6，学生容易发现点G为△ABC的重心，根据重心性质知道点G为线段BE的三等分点，于是容易得出与a，b的线性关系；对于题7，将中点改为三等分点，此时点P不是△ABC的重心了，那么点P分线段AM的比是不是一个确定值呢？利用共线定理和平面向量基本原理可得AP∶PM=4∶1，这样问题也就迎刃而解了. 与题6相比，题7的难度略有提升，但其更具一般性，更有研究价值.

这样通过切合学生实际的“问题串”的设计，使学生的思维盘旋上升，不仅激发了学生参与的热情，而且帮助学生总结归纳了解决问题的思想方法. 同时，通过探究帮助学生认清了向量在数与形两方面的本质特征，有助于解题能力提升.

4. 反思总结

通过前面三个阶段的探究，引导学生对知识点、思想方法进行回顾和总结，进而在解决问题的同时，形成完善的知识方法体系. 对于高三数学复习课堂来讲，反思总结也是关键的一步，只有通过不断总结和反思，才能真正领悟问题的本质，从而找到解决问题的合适切入点，以此提高解题效率. 在此笔者特别想强调的是，反思总结一定要交给学生自主完成，因为只有学生自主反思总结出来的才能够纳入其自身的认知体系当中，才能够真正成为其自身能力的一部分.

教学反思

高三数学复习课堂大多始于知识的梳理，其目的是通过回顾激活已有认知，并通过知识点间的关联性将相关知识进行串联，形成完善的知识结构. 针对不同的内容，不同的教师所采取的教学手段也会有所不同，切忌将知识进行简单罗列，如果这样做不仅难以让学生形成深刻的印象，而且会使教学枯燥又低效. 在本节复习教学中，笔者将知识点融入小题组中，在解决问题的过程中学生可以自主参与知识的回顾和梳理. 当然这些小题组是需要教师精心设计的，既要有针对性又要兼顾全面性，既要有基础性又要注意延伸性，同时还要注意层次性，只有有效地设计才能让学生在问题的引领下提炼出相关的知识和方法，使学习变得更加主动、积极. 在知识梳理过程中，教师要多鼓励学生进行互动和交流，充分发挥个体优势，实现优势互补，从而使认知体系更加完善，这样学生主动参与、主动建构的知识框架更能深入人心.

同时，对于高三数学复习，除了知识的梳理外，还要重视思想方法的整理归纳，进而让学生掌握问题的核心和本质，提炼出解决问题的通性通法，形成解题策略，提高解题能力. 在此阶段，问题的设计要具有一定的开放性，能引导学生进行多角度分析，进而总结出解决问题的基本方法，如几何法、代数法和坐标法. 同时，问题的设计还要具备一定的由浅入深的层次性，能引发学生深度思考，使学生在不断探索和研究中发挥最大的潜能，进行高效复习.

另外，在课堂教学中应引导学生进行必要的探究活动，通过有效拓展和延伸，发散学生的思维，提高学生的综合应用能力. 不过在探究活动的设计上要切实符合学生实际学情，切勿盲目拔高，否则容易挫伤学生的信心，影响学生参与的积极性.

总之，要使高三数学复习课更加高效，教师就要充分了解学生，结合学生学情进行精准定位，合理预设，从而通过恰当问题的引导，帮助学生完善认知体系，提升学生解决问题的能力.

作者简介：王兴年（1970—），本科学历，中学高级教师，从事高中数学教学工作.